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Banach空间中凸函数的微分理论和逼近

陈绍雄  
【摘要】:本文主要研究Banach空间中凸函数等度连续性;凸函数的可微性与逼近凸函数的联系;广义实值下半连续真凸函数在Asplund空间和Asplund生成空间中的光滑逼近;一般下半连续函数的△-凸函数光滑逼近等方面的问题。全文共分七章。 第一章 绪论:简单回顾无穷维空间上凸函数可微性,光滑逼近以及一般函数△-凸函致光滑逼近的发展。给出本文的基本内容和贯穿全文的基本概念,符号和相关命题。 第二章 凸函数的等度连续性及应用。把Banach-Steinhaus定理推广到凸函数的情形,并给出一些凸函数簇是等度连续的特征性质最后给出它的—个应用。 第三章 凸函数的逼近性和可微性:引入等度Fréchet可微的概念,以凸函数的等度连续性为工具给出逼近凸函数和被逼近凸函数Fréchet可微性之间的特征定理。并用它推广了一个FDP定理并用等度连续凸函数列来给出Asplund空间的特征;也用它从逼近凸函数的角度给出Asplund空间的另一个特征。 第四章 Asplund空间中凸函数的光滑逼近:证明了Asplund空间上每个广义实值下半连续真凸函数可用一列单调不减,Lipschitz的,稠密开子集上Fréchet可微的凸函数逐点逼近,当被逼近函数是有界集上有界时,相应的逼近还是有界集上一致的。还给出了相应的对偶形式的定理。 第五章 Asplund生成空间中凸函数的逼近:证明了比Asplund空间更广泛的Asplund生成空间上每个广义实值下半连续真凸函数可用一列单调不减的,稠密开子集上Fréchet可微的连续凸函数逐点逼近。 第六章 下半连续函数的光滑逼近:主要讨论β-超(次)可微逼近。用构造的方式证明了在具有局部一致凸的,β-光滑范数的Banach空间上任意一个下半连续函数可用△-凸的,有界集上有界的,β-超可微的函数列逐点逼近。用例子说明这种构造不能保证逼近函数序列是Fréchet可微的,但在Asplund空间中,利用第四章的主要结果,可要求逼近是在稠开子集上Frehet可微的(甚至是C~∞的)△-凸逼近。还给出其他相关逼近结果。 第七章 注记,注释:注记1把第三章的主要结果推广到一般β-可微的情形并用凸函数的逼近和等度连续性给出β-可微空间上的一些结果以及弱Asplund空间的特征刻画。注记2针对第四章主要结果是否是充分必要的?给出一个例子否定了一种证明思路。


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