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几类结构矩阵的快速算法及其应用

汪祥  
【摘要】:众所周知,在工程计算和实际应用中有许多问题最终都归结为矩阵计算问题,而且不同的应用会导出一些具有特殊结构的矩阵计算。最常见的一些结构矩阵有Toeplitz矩阵[a_(i-j)],Hankel矩阵[a_(i+j)],Vandermonde矩阵[a_i~(j-1)],Cauchy矩阵[1/(a_i-b_j)]等等。处理与这些结构矩阵有关的矩阵计算问题(例如,求解线性方程组、计算特征值等),若矩阵的阶数较小时,通常的经典算法是可行的(例如LU分解算法、QR算法等)。然而,在许多实际应用当中,矩阵的阶数n很大(n~10~6-10~9)或某个线性方程组需要多次计算直到得到一个满意的结果(例如用迭代法时),此时这些经典的算法由于代价太大而失去了实际意义。 因此,针对这些结构矩阵的特点而设计一些能利用它们的结构的,数值稳定的快速算法,具有非常重要的意义。正因为结构矩阵在实际应用中所具有的重要意义,国内外众多的学者将目光投入到这一领域。结构矩阵的快速算法中最著名的莫过于快速傅里叶变换(即FFT),有许多快速算法均是由快速傅里叶变换导出的。因此,著名数学家Charles Van Loan曾这样评价快速傅里叶变换算法:“从计算的角度看,快速傅里叶变换是本世纪最杰出的成就之一,毫不夸张地说,快速傅里叶变换改变了科学与工程计算的面貌,如果没有它,生活将会是另一种景象”。 本论文主要研究了Toeplitz矩阵、Hankel矩阵、Pascal矩阵以及合流Cauchy-Vandermonde矩阵的一些性质及相关的快速算法,同时还给出这些快速算法的数值实验和在一些问题中的应用。理论和数值实验显示,这些快速算法是行之有效的。 第一章,我们简单介绍了研究结构矩阵快速算法的现实意义、研究概况以及常用的研究方法,同时也给出了与本论文有关的几类结构矩阵的定义及其基本性质。 在第二章和第三章,我们主要是利用Toeplitz矩阵和Hankel矩阵的特殊结构,导出相应的递推关系式,然后再利用快速傅里叶变换(FFT),给出了计算Toeplitz矩阵的正弦变换和Hankel矩阵的余弦变换的快速算法(算法计算复杂度为O(nlogn))。该算法不仅快而且存贮有效,因为在执行该快速算法的过程中,不需要存贮任何矩阵。同时在第二章中,我们还给出了该快速算法在利用Jacobi旋转变换计算Toeplitz矩阵的特征值中的应用。数值实验


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