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正则性理论的新方法及其在非线性偏微分方程组和拟凸积分中的应用

陈淑红  
【摘要】: 弱解的正则性理论是近代偏微分方程领域极具挑战性从而倍受关注的热点问题之一,其研究历史悠久。早在1900年在巴黎召开的国际数学家大会上,D.Hilbert提出的著名的23个公开问题中就有两个(问题第19和第20个)是对解的正则性的叙述,凸现了正则性理论研究的难度与重要意义。 部分正则性研究的经典方法是“凝固系数法”,即:通过“凝固系数”得到常系数方程组,再把解跟由“凝固系数”后得到的常系数方程组所构成的Dirichlet问题的解进行比较,得到重要的衰减(Decay)估计(也称单调性不等式)并进行常规的迭代,从而推出部分正则性结果。其中需要用到复杂而繁琐的反H(o|¨)lder不等式或Gehring引理,更令人感到遗憾的是由此所得到的部分正则性不是最优的,即:H(o|¨)lder正则性指标低于已知系数函数的H(o|¨)lder连续性条件中的指标,且奇异集大小的估计不够精确。 因此,本文采用部分正则性研究的新方法—A-调和逼近方法,来研究具有可控增长条件和自然增长条件的非线性偏微分方程组弱解的部分正则性。这种新方法是通过A-调和逼近引理架起A-调和函数和非线性偏微分方程组之间的桥梁,使得我们能够根据文章的实际需要构造某个眼弱解u相关的特定函数,通过A-调和逼近引理,揭示了存在这样的A-调和函数在L~2意义下跟该特定函数靠得非常近,从而可以利用A-调和函数那些好的性质,推出需要的衰减(Decay)估计,由此得到部分正则性结果。 “A-调和逼近方法”和经典的“凝固系数法”关键的差别是:解是与在L~2意义下跟我们构造的特定函数充分靠近的A-调和函数进行比较,而不是跟由“凝固系数”后得到的常系数方程组所构成的Dirichlet问题的解进行比较的。这种新方法不但大大简化了证明过程,更重要的是得到了最优部分正则性结果。 本文的主要创新点是(文中m表示的是弱解u的梯度Du的增长指标): (1)对具有自然增长条件的偏微分方程组,由于弱解u的有界性,即,|u|≤M<∞,使得它的处理方法比具有可控增长条件的情形简单多了,但我们所得到的在自然增长条件下弱解的奇异集大小比前人所得到的要精确得多。 (2)据我们所了解,在可控增长条件下非线性偏微分方程组弱解的部分正则性此前并没有好的结果,甚至连m≡2时的Caccioppoli第二不等式都没有人证明过,更不用说m>2或1<m<2的情形了。这里我们采用了—个新的办法得到了Caccioppoli第二不等式。因此,即使是在可控增长条件下的Caccioppoli第二不等式的证明,也是崭新的、具有独立兴趣的结果。 (3)本文不但成功地处理了当m>2时非线性椭圆方程组弱解的最优部分正则性问题,而且对1<m<2的情形也圆满地解决了。可以肯定地说,这个结果是近二十多年来具有一般结构的椭圆方程组部分正则性理论的一个突破性进展。 (4)成功结合研究非线性椭圆方程组弱解部分正则性的技巧,得到了一般形式的拟凸积分极小的最优部分正则性。 总之,本文应用A-调和逼近技巧以及它的各种变化形式,结合不同的技巧,分别解决了具有可控增长条件和自然增长条件的非线性椭圆方程组、非线性抛物方程组、退缩椭圆方程组、稳态的Navier-Stokes方程组的弱解以及拟凸积分极小的部分正则性。具体如下: 1、非线性椭圆方程组 当m>2时,本文采用A-调和逼近方法得到了弱解的最优部分正则性结果。但是,由于A-调和逼近技巧只能够处理m≡2的情形,而对m≠2的情况束手无策,本文通过插值技巧解决了这个问题。 当1<m<2时,上述的A-调和逼近方法已经不再适用,庆幸的是另外一种类似于p-Laplace形式的A-调和逼近方法使得我们可以继续对这类非线性椭圆方程组弱解的部分正则性问题进行探讨。然而此刻却出现了积分函数的指数-1/2<m-2/2<0是负数的情形,这使得我们原先的技巧失效了。为了克服这个困难,我们借鉴了1989年Acerbi和Fusco处理变分泛函极小的方法,推出相应的积分不等式,终于扫除了这道障碍。 这部分我们再次证明了在可控增长条件下的Caccioppoli第二不等式,并得到了这种情形的最优部分正则性结果。 2、退缩椭圆方程组 本部分特别将A-调和逼近技巧改进为p-调和逼近方法来研究退缩椭圆方程组弱解的最优部分正则性问题。然而,由于可控增长条件本身的特点和弱解u没有有界性条件,使得对该方程组的最优部分正则性研究困难重重。为了克服这道难关,我们在谭忠和严子谦于1992年处理退缩椭圆方程组和障碍问题的论文的启发下,结合p-调和逼近技巧和Sobolev空间的性质,推出了适当形式的Caccioppoli不等式,从而得到一个颇具特色的衰减(Decay)估计,使得退缩椭圆方程组弱解的最优部分正则性问题迎刃而解。 3、非线性抛物方程组 本部分应用的是在A-调和逼近方法的基础上发展起来的A-热调和逼近方法。由于这里的弱解u不但跟时间t有关而且没有有界性条件,再加上缺乏相应的Caccioppoli第二不等式,使得我们的研究举步为艰。最终,我们在严子谦于1986年处理非线性抛物方程组的启示下,充分挖掘可控增长条件那些好的性质,结合A-热调和逼近技巧和解决非线性椭圆方程组的技巧,终于排除困境,得到了具有可控增长条件的非线性抛物方程组弱解的最优部分正则性结果。 4、稳态的Navier-Stokes方程组 对于简单形式的稳态的Navier-Stokes方程组的部分正则性以及奇异集的大小估计已有较好的结果,但对具有一般结构的稳态的Navier-Stokes方程组,自1979年Giaquinta的工作之后就没有好的结果,我们通过A-调和逼近技巧,结合以往处理该方程组的方法,同时注意到弱解的散度和梯度之间的关系,终于改进了Gi-aquinta的结果,得到了该方程组的最优部分正则性。 5、拟凸积分极小 跟x,u无关且泛函的积分函数f(Du)的增长指标m>2的拟凸积分极小,我们采用A-调和逼近方法,充分应用拟凸积分极小本身的特点,并结合A-调和逼近技巧和插值技巧得到所需的最优部分正则性结果。 跟x,u有关且泛函的积分函数f(x,u,Du)的增长指标1<m<2的拟凸积分极小,借鉴对非线性椭圆方程组当中对x,u的处理技巧,结合拟凸积分极小本身的特点和A-调和逼近技巧以及反-H(o|¨)lder不等式推出所要的结果。


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