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分数阶反应—扩散方程的数值近似

于强  
【摘要】: 近些年来,人们渐渐发现分数阶导数在许多科学领域中发挥了越来越重要的作用,特别在工程,物理,金融,水文等领域.分数阶的微分方程证明对于模拟许多物理现象是一个很有用的数学工具.与整数阶模型相比,分数阶模型的显著优点在于它有着坚实的实用背景和物理解释.其中分数阶反应-扩散方程近年来在许多领域受到越来越多的关注,但是有关空间时间分数阶反应-扩散方程的数值方法及稳定性和收敛性的分析还十分有限.特别当反应项是非线性的时候还很难来处理. 本文从三个方面来讨论分数阶反应-扩散方程的数值近似,分别是时间分数阶反应-扩散方程的隐式有限差分格式,空间时间分数阶反应-扩散方程的显式差分近似和隐式差分近似,以及用Adomian分解方法求解线性和非线性空间时间分数阶反应-扩散方程.我们首先考虑时间分数阶反应-扩散方程(时间分数阶导数α(0α≤1)是Ca-puto定义的).对此方程我们用有效的差分形式来逼近时间分数阶导数,并提出了计算有效的隐式差分近似,然后应用数学归纳法和分数阶离散系数的特点给出了稳定性和收敛性的详细误差分析.接着我们考虑空间时间分数阶反应-扩散方程(时间分数阶导数α(0α≤1)是Caputo定义的,空间分数阶导数β(1β≤2)是Riemman-Liouville定义的),对此方程我们用有效的差分形式来逼近时间分数阶导数,用移动的Gr(u|¨)nwald公式来逼近空间分数阶导数,并提出了计算有效的显式差分近似和隐式差分近似,然后应用数学归纳法和分数阶离散系数的特点分别给出了两种近似的稳定性和收敛性的详细误差分析.最后我们考虑线性和非线性空间时间分数阶反应-扩散方程(时间分数阶导数α(0α≤1)和空间分数阶导数β(1β≤2)都是Caputo定义的).Adomian分解方法能够很好的处理非线性反应项,并且对于方程不用离散就能提供高精度的近似解,而且增加分解序列新的项就能使总体误差变的很小,所以通过Adomian分解方法我们可以很有效的得到线性和非线性空间时间分数阶反应-扩散方程的近似解.在每一部分都给出了数值例子来证实所提出的数值方法的有效性.从本文的讨论中可以看出这些数值方法也适用于求解其他类型的分数阶微分方程.


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