双随机矩阵和双随机循环矩阵的素元研究

【摘要】： 众所周知，在矩阵理论和矩阵计算中，矩阵的分解问题是非常重要的问题．当我们有了一个(类)矩阵的某种分解，我们对这个(类)矩阵肯定会有更多的了解，更有利于我们的分析和计算．另一方面，矩阵的分解在实际中也有重要的应用．例如，非负矩阵的分解在信号处理、组合优化、复杂性理论、概率论和人口统计学及经济学等中有重要的应用． 本文研究的是非负矩阵中的素元．这一方面是为研究非负矩阵分解的需要；另一方面，在实际中也有重要的应用．例如，在系统与控制论中的有限值过程的随机实现问题、隐藏Markov模型的实现问题、一个有限随机系统的实现问题和一个正线性系统(投入、状态和产出都取正值)的实现问题等等(上述实现问题中的主要问题是刻划系统的极小性，最后可把问题归结为正线性代数中的一类问题，即非负矩阵中素元的分类问题)． 本文主要研究了双随机矩阵和双随机循环矩阵中的素元．因为任一n阶双随机循环矩阵都可以唯一地表示为移位的n-1次一元多项式和任一n阶双随机矩阵都可以表示为置换矩阵的凸和，从而可把双随机循环矩阵中素元的分类问题简化为解双随机循环矩阵上的一个方程的问题，把双随机矩阵中素元的分类问题简化为解双随机拉丁方上的一个方程的问题． 本文第一章，我们将简单介绍研究非负矩阵中素元的理论和实际意义和素矩阵的研究现状．同时也将给出与本论文有关的几类非负矩阵和几类半环中素元的定义和关系，以及有关的Hurwitz多项式的一些结果． 第二章，主要研究了判别对应向量的正元素全部相邻的双随机循环矩阵是否为素元的方法，研究了Picci G．等在文[47]中所提出的如下问题和猜想：问题A设A=circ(a)∈DSC_+~(n×n),4n(a)n，且a=ω_n~k(a_1，…，a_n(a)，0，…，0)~t∈S_+~n，k∈N_(n-1)(即a的正元素相邻)，给出判别A是否是双随机循环矩阵中素元的方法． 猜想A设n∈Z_+，n≥6，A=circ(a)∈DC_+~(n×n)S，n(a)=n一1，则A不是双随机循环矩阵中的一个素元． 我们解决了问题A和猜想A当n(a)=5时的情形，也给出猜想A成立的一个充分条件． 第三章，研究了判别对应向量的正元素不全相邻的双随机循环矩阵是否为素元的方法，完全解决了如何判别有位数3或4且对应向量的正元素不全相邻的双随机循环矩阵是否为素元的问题． 第四章，研究了双随机矩阵中素元的判别方法，解决了PicciG．等在文[47]中所提出的如下问题： 问题B设A∈DS_+~(n×n)(n≥3)能唯一表示成则A是双随机矩阵中的素元当且仅当不存在向量6，c∈S_+~(n!)，n(n)，n(c)≥2，使a=L_m(6)c成立，其中L_m：S_+~n!→R_+~(n!×n!)是由置换乘法诱导出的拉丁方(见后面定义4．2．3)．而存在向量b，c∈S_+~(n!)，n(b)，n(c)≥2，使上式成立当且仅当下述下标方程和双随机拉丁方上的方程都有解：其中 上述下标方程的可解性条件已在文[47]中刻划出，这里的问题是：如何刻划上述双随机拉丁方上方程的可解性条件?