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Banach空间上的强不可约算子

张云南  
【摘要】: 在有限维空间的矩阵论中,著名的Jordan标准形定理充分揭示了矩阵的内在结构,从Jordan标准形定理可以看出,Jordan块在矩阵论中起着基本而重要的作用.在无穷维可分Hilbert空间中,强不可约算子己被蒋春澜等证明为Jordan块的合适类似物.而且他们建立了算子在相似意义下唯一强不可约分解定理,得到了强不可约算子的谱图象和紧摄动结果以及应用K理论来寻找算子的完全相似不变量,事实上,他们已经建立了无穷维可分Hilbert空间上强不可约算子的一套系统的理论.毫无疑问,考虑建立一般Banach空间中相应的理论不仅是非常重要的,也是非常必要的.本文的主要目的就是研究一般Banach空间上的强不可约算子的包括存在性等在内的重要基本性质.全文共分六章. 第一章简要回顾了强不可约算子研究的背景以及发展概况. 第二章讨论强不可约算子的存在性,证明了当Banach空间X的共轭空间X~*w~*可分时,X上存在强不可约算子;研究强不可约算子具有的基本性质,说明强不可约算子具有非有限秩、非代数算子等性质;探讨强不可约算子与Cowen-Douglas算子的关系,证明了若X=c_0或ι_p(1≤p≤∞),则对任意1≤n≤∞,存在T∈B_n(Ω)∩(SI)(X). 第三章给出上三角算子矩阵的本性谱填洞结果,即对上三角算子矩阵M_C=(?)∈B(x×y),有σ_τ(A)∪σ_τ(B)=σ_τ,(M_C)∪W,其中W(?)σ_τ(A)∩σ_τ(B)是σ_τ(M_C)的某些洞的并,这里σ_τ对σ_b与σ_e成立,但对σ_K与σ_ι,σ_r,σ_ιe,σ_re不成立;给出M_2(A)中上三角矩阵相应的谱填洞结果;讨论算子矩阵成为强不可约算子的条件. 第四章研究遗传不可分解空间上的强不可约算子的性质.根据遗传不可分解空间特殊的算子构成,给出其上强不可约算子具有的特殊性质,例如当T是遗传不可分解空间上的强不可约算子时,kerT(?)(?);以及A'(T)/radA'(T)≈C(?)T∈(SI)此外,当算子T的点谱或压缩谱为空时,T是强不可约的.给出有限维强不可约算子的定义,说明其性质. 第五章讨论遗传不可分解空间上强不可约算子的小紧摄动问题,证明了几种特殊的单点谱算子能小紧摄动成为强不可约算子,即当具有单点谱{0}的算子T满足如下条件((1)dimkerT∞;(2)dim(x/(?))∞;(3)dim(kerT/(kerT∩(?))=∞;(4)dimkerT=dim(x/(?))=∞,kerT(?)(?),dim((?)/kerT)∞)之一时,T能小紧摄动成为强不可约算子;证明有有限维Schauder分解空间上的具有单点谱的对角算子可以小紧摄动成为强不可约算子. 第六章应用K理论工具来研究算子的强不可约分解,得到了与无穷维可分Hilbert空间上结果类似的定理,即A(?)∑_(i=1)~k(?)A_i~(ni),其中A_i∈(SI),i=1,2,…,k,A_i(?)A_j(i≠j)当且仅当存在从∨(A'(A))到N~((k))上的同构h,使得h([I])=n_1e_1+n_2e_2+…+n_ke_k,其中I是A'(A)中的恒等算子,{e_i}_(i=1)~k是N~((k))的生成元,0≠n_i∈N.特别地,在遗传不可分解空间上,两个强不可约算子直和换位代数的K_0群可以用来刻画它们的相似性.


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