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Virasoro-like代数和顶点代数

王清  
【摘要】: 众所周知,Virasoro代数及顶点代数在数学和物理的许多分支上都有重要的应用。单变量罗朗多项式环的导子李代数称为Witt代数,而Witt代数的泛中心扩张就是Virasoro代数。Virasoro代数的表示在仿射Kac-Moody代数的可积模构造及其结构分析和可积模的分类中起着重要作用([GO1],[GO2]).由Borcherds引进的顶点代数在理论物理中的共形场论及弦论中都有广泛研究和应用([GSW]),格顶点代数是顶点代数理论中重要的一类,这些代数在moonshine模及其顶点代数的理论发展中扮演着极其重要的角色。 Virasoro-like代数W,可以看作是无中心Virasoro代数的推广,它的基元为{D(m)|m∈Z~2\{0}},其中m=(m_1,m_2),李关系为[D(m),D(n)]=(m_2n_1-m_1n_2)D(m+n).我们可以从如下两种不同角度把它看作是“Virasoro代数”,首先,在(x,y)平面上,对m=(m_1,m_2),令D(m)=e~(i(m_1y+m_2x)),利用Poisson积{f,g}={?).我们得到对D(m_1,m_2)=e~(i(m_2x+m_1y))及D(n_1,n_2)=e~(i(n_2x+n_1y)),有另外,W也可以按如下方式看作平面上的多项式向量场,令易知,(见[KPS]). 记L=W(?)Cd_1(?)Cd_2,其中d_1,d_2是度导子。在[LT1]中,作者构造了从sl_2-模V到两个变量的量子环面上skew导子李代数L_q-模F_g~α(V)上的一族函子F_g~α,并研究了skew导子李代数L_q的模F_g~α(V),当q=1时,L_q就是Virasoro-like代数L,L_q-模就是L-模F~α(V).本文第一章主要研究Virasoro-like代数L到它的模F~α(V)上的导子,其中V为有限维不可约sl_2-模。同时,给出了一上同调群H~1(L,F~α(V)). 记Diff_0R~2为二维平面上保持面积不变的微分同胚代数([Ba]),Diff_0R~2的基元为:交换关系为:其中由Diff_0R~2的交换关系,我们可以把(?)与f_(m,n)等同起来。 注意到Diff_0R~2有如下分解:其中Diff_0~+R~2由{f_(m,n)|m∈Z,n≥0)生成,H由{f_(m,-1)=x~(m+1)|m∈Z)生成,Diff_0~-R~2由{f_(m,n)|m∈Z,n一1}生成。李代数Diff_0~+R~2(?)H和Diff_0~+R~2也称为Block型李代数,它们是Block在他1958年文章[B1]中引入的一类特征为零域上的无穷维单李代数的推广。因为这类代数和Virasoro代数很接近,所以也常称为Virasoro-like代数。在[Su1]中,作者研究了李代数Diff_0~+R~2(?)H的泛中心扩张的拟有限维表示。在[Ba]中,Bakas研究了Diff_0~+R~2的unitary表示,并讨论了它在量子场理论中的重要运用。在本文第二,三章我们研究Diff_0~+R~2代数的Leibniz扩张及其表示。 记L_(m,n)=-f_(m+n,n),m,n∈Z,则有记(?)=spanc_C{L_(m,n)|m,n∈Z,n≥0},则(?)=Diff_0~+R~2.本文第二章我们给出了(?)的Leibniz二上同调群,我们发现它与(?)的二上同调群是相同的。因此, (?)的泛中心扩张(?)=(?)C_K由(?)上的二上圈β定义:从而李关系为:其中m,m'∈Z,n,n'≥0,k是中心元。显然,B包含一个子代数,基元为{L_(m,0),k|m∈Z},它与Virasoro代数同构。在[M]中,作者证明了Virasoro代数上的Harish-Chandra模为最高权模,最低权模或中间系列模。 在一系列文章[KL,KS,KWY,LT2,LT3,Su1,Su2,Su3]中,作者都在研究权空间维数有限的这一类模。如在[Su1]中,作者研究了Block型李代数(?)的泛中心扩张B'=(?)C_k的拟有限维表示,其中(?)=span_C{L_(m,n)|m,n∈Z,n≥-1},李关系为中心扩张B'由二上圈φ定义:从而李关系为:作者证明了拟有限维不可约B'-模是最高权模或最低权模。本文第三章我们考虑Block型李代数(?)的子代数(?),它们有不同的泛中心扩张,我们将看到它们的表示理论也是不尽相同。 在顶点代数理论部分,我们从顶点代数扩张的角度去研究由可能退化的偶格决定的顶点代数及其模,我们的结果包含了一些已有的结果,并得到一些新的结果。我们还研究了Heisenberg代数的模,分类了满足某些条件的不可约模,并给出完全可约性定理。


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