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分数阶对流—扩散方程的基本解和数值方法

沈淑君  
【摘要】: 分数阶微分方程的特点是含有非整数阶导数,能非常有效的描述各种各样的物质的记忆和遗传性质,在物理,数学,机械工程,生物,电子工程,控制理论和金融等领域发挥越来越重要的作用。各种分数阶模型与无秩序的动力系统有着紧密的联系。物理学中的反常扩散最初是从随机游走模型中发展得来的。分数阶对流.扩散方程是模拟各种反常扩散现象的有力工具。分数阶对流-扩散方程是分数阶动力方程的一部分,方程中可以含有空间和时间的分数阶导数算子。本文分别讨论时间、空间、空间-时间的分数阶对流-扩散方程。文中所涉及的空间分数阶导数均为Riesz空间分数阶导数,它含有双侧的Riemann-Liouville分数阶导数。Riesz空间分数阶导数的一个显著优点是适用于高维空间。 本文主要由下面几个部分组成。 首先,引言部分介绍了分数阶微积分的发展历史和已有的一些重要成果。然后介绍分数阶微积分的一些预备知识,给出了分数阶微积分一些基本定义和性质。 其次,笫二章从时间分数阶扩散方程出发,提出一显式守恒差分近似,进行稳定性与收敛性分析。将得到的结果推广到时间分数阶对流-扩散方程,对时间分数阶对流-扩散方程的显式守恒差分近似,用数学归纳法进行稳定性与收敛性分析,并用质点的随机游走来解释。实践证明,随机游走是解释许多自然科学学科中随机过程的强有力的模型。 第三章考虑Riesz空间分数阶对流-扩散方程。这一章包含三部分内容。首先考虑初值问题。利用Laplace和Fourier变换得到Riesz空间分数阶对流-扩散方程初值问题的基本解。用格林函数表示基本解,并对其进行概率解释。再利用Riemann-Liouville分数阶导数与Grtinwald-Letnikov分数阶导数之间的等价关系,构造一显式有限差分近似,这一离散格式可以解释为一个随机游走模型,并且收敛于稳定的概率分布。第二部分考虑初边值问题,基于Riesz空间分数阶导数可以表示为拉普拉斯算子幂次方这一特点,借助于矩阵转换技巧与分数阶行方法求此方程的数值解,利用特征函数的性质与Laplace变换相结合求出其新的解析解,再对这两种解进行比较。最后,进一步讨论了初边值问题的有限差分近似,构造显式和隐式两种差分近似,并进行了误差分析。 第四章中考虑Riesz空间.时间分数阶对流-扩散方程。首先考虑初值问题。利用Laplace和Fourier变换得到Riesz空间.时间分数阶对流-扩散方程初值问题的基本解。用格林函数表示此基本解,对其进行概率解释。利用Riemann-Liouville分数阶导数与Griinwald-Letnikov分数阶导数之间的等价关系,构造一显式有限差分近似,这一离散格式可以解释为一个随机游走模型。然后讨论初边值问题。构造显式和隐式两种有限差分近似,进行了误差分析。由于分数阶导数的非局部性结构,使得计算分数阶微分方程的数值方法需要比整数阶花费更多的计算时间和存储要求。因此,在文中最后部分,我们提出了提高计算精度的Richardson外推法和减少计算量的“short-memory”原则,以此来改进我们的数值方法。 在每一章中,均给出数值例子说明所用数值方法的有效性。


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