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半格顶点代数的表示与TKK代数的分次自同构群

叶从峰  
【摘要】: 顶点代数是二十世纪末发展起来的一类新的数学研究对象,它与仿射Kac-Moody代数的表示理论以及物理中的共形场理论有紧密的联系([B01,,MS])。 格顶点代数是最重要、最基本的顶点代数之一。S.Berman、C.Dong和S.Tan研究了与toroidal李代数的表示理论有关的所谓“半格”顶点代数([BDT])。设L是一个偶格,V_L是相应于L的格顶点代数。作为向量空间,V_L是对称代数S(H(?)_ct~(-1)C[t~(-1)])和群代数C[L]的张量积,其中H=C(?)_ZL。[BDT]中考虑的格L由c_i,d_i(i=1,…,v)张成,并有一个Z-值双线性型(·,·)使得:(c_i,c_j)=(d_i,d_j)=0,(c_i,d_j)=δ_(i,j)。S.Berman、C.Dong和S.Tan将半格顶点代数定义为其中Lc=(?)。半格顶点代数V是格顶点代数V_L的一个顶点子代数。 S.Berman、C.Dong和S.Tan定义了一个结合代数A。A由e_α和d_i生成,满足生成关系: e_0=1,e_α+β=eαeβ,d_ie_α-eαd_i=(d_i,α)e_α,d_id_j=d_jd_i,其中α,β∈L_c,1≤i,j≤v。更重要的是,他们证明了结合代数A的(不可约)表示与半格顶点代数V的(不可约)表示之间有一个一一对应。他们可以由A的一个(不可约)表示构造出V的一个(不可约)表示,也可以由V的一个(不可约)表示得到A的一个(不可约)表示。这就意味着,为结合代数A寻找更多表示的工作是很有意义的。 在本论文的第一章,我们首先定义了一个结合代数A_Q。设Q=(qij)是一个元素都是非零复数的v×v复矩阵,并且满足条件: qii=1,qij=q_(ji)~(-1),(1≤i,j≤v).结合代数A_Q由e_α,d_i生成,满足生成关系:e_0=1,e_αe_β=(?)eα+β,d_ie_α-e_αd_i=(d_i,α)e_α,d_id_j=d_jd_i,其中α=(?)m_ic_i,β=(?)n_ic_i∈L_c,1≤i,j≤v。当Q的所有元素都为1时,结合代数A_Q就是[BDT]中定义的结合代数A。接下来,我们构造了两类不可约A_Q-模:V(a_1,…,a_(v-1),b)和V((?))。另外,我们也研究了这两类模的自同构群。 A_1型扩张仿射李代数的分类依赖于从欧氏空间中的半格构造的TKK代数。从欧氏空间的一个半格S出发,可以定义一个Jordan代数J(S),然后利用所谓的Tits-Kantor-Koecher构造法可以得到一个TKK代数,进而得到一个A_1型的扩张仿射李代数。B.Allison、N.Azam和S.Berman等人证明了,欧氏空间R~v中半格的相似等价类与nullity为v的A_1型扩张仿射根系的同构等价类一一对应([AABGP])。在欧氏空间R~2。中,只有两个不相似的半格S和S',其中S是格而S'是非格半格。Jordan代数J(S)和J(S')都有一个自然的Z~2-分次。这个分次自然地诱导出TKK代数9(J(S))和BabyTKK代数G(J(S'))上的一个Z~2-分次。在本论文的第二章,我们分别研究JTKK代数G(J(S))和Baby TKK代数G(J(S'))的Z~2-分次自同构群。


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