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分数阶动力方程的数值方法及其理论分析

庄平辉  
【摘要】: 分数阶动力方程近年来得到广泛的兴趣和关注。其主要原因是由于分数阶微积分理论自身的迅速发展,以及其在物理、化学、生物,环境科学,工程以及金融等各类学科中的广泛应用。分数阶动力方程为描述不同物质的记忆和继承性质提供了强有力的工具。 然而,分数阶动力方程的解析解是比较复杂的,多数解析解都包含了有级数形式或特殊函数。而且,多数分数阶动力方程的解不能显式地得到。这就促使我们必须考虑有效的数值方法。目前,关于分数阶动力方程的数值方法以及相关的稳定性和收敛性分析相当有限,而且很难得到。这些激励我们发展有效的数值方法解分数阶的微分方法。在本论文中,我们考虑两种类型的分数阶动力方程。第一类分数阶动力方程是带有扩散,对流.扩散以及Fokker-Planck类型的分数阶动力方程。其数值方法和理论分析将分别在第二章,第三章和第四章详细讨论。第二类分数阶动力方程是带有反常次扩散的分数阶动力方程。例如,反常次扩散方程,非线性反应次扩散方程,以及分数阶Cable方程。这些方程的数值方法和理论分析将在第五章,第六章和第七章进行讨论。所有上面提到的方程已经被用于描述受反常扩散和非指数松弛方式控制的复杂系统中的传输动力学。这些分数阶方程都可以从基本的随机游走和推广的控制方程中逐步地得到。 第一章,我们总结了分数阶计算理论的发展史,本论文讨论的问题的背景,以及有关分数阶动力方程的先前的工作。并给出了我们的研究工作以及论文的结构。 第二章,我们考虑在有界区域上的空间-时间分数阶扩散方程。这个方程是从标准的扩散方程中,二阶空间导数由β∈(1,2]阶的Riemann-Liouville分数阶导数代替,一阶时间导数由α∈(0,1]阶的Caputo分数阶导数代替得到。我们研究含有初边值问题的空间-时间分数阶扩散方程的显式差分格式和隐式差分格式。给出了方法的稳定性和收敛性结论。证明了隐式差分格式的无条件稳定性和收敛性,而显式差分格式的条件稳定性和收敛性。数值例子显示了反常扩散的性态。在这一章中,我们还考虑了有限区域上二维分数阶扩散方程。提出了求解二维空间-时间分数阶扩散方程的隐式差分格式,讨论了这个隐式差分格式稳定性和收敛性。一些数值例子显示了这些技巧的应用。 第三章,我们考虑有限区域上的空间.时间分数阶对流-扩散方程。这个方程是从标准的对流-扩散方程中,一阶时间导数由α∈(0,1]阶的Caputo分数阶导数代替,一阶和二阶空间导数分别由β∈(0,1]阶和γ∈(1,2]阶的Riemann-Liouville分数阶导数代替得到。我们提出隐式和显式差分格式。利用数学归纳法,证明了这个隐式差分格式的无条件稳定性和收敛性,而显式差分格式的条件稳定性和收敛性。其数值结果和理论分析相符。 第四章,我们考虑有界区域上的空间.时间Fokker-Planck方程。这个方程是从标准的Fokker-Planck中,一阶时间导数由α∈(0,1]阶的Caputo分数阶导数代替,二阶空间导数由左Riemann-Liouville分数阶导数和右Riemann-Liouville分数阶导数代替得到。我们提出了计算有效的隐式数值方法。讨论了隐式数值方法的稳定性和收敛性。并给出了数值例子,这个数值结果与精确解相符。 第五章,我们考虑反常次扩散方程。提出了一种新隐式数值方法和两种改进收敛阶的技巧。利用能量不等式证明了这个新的隐式差分格式的稳定性和收敛性。我们给出一些数值例子。数值结果证实了我们的理论分析。这些方法也可以应用于其它类型的积分微分方程和高维问题。 第六章,我们考虑非线性反应-次扩散过程。我们提出了一种新的计算有效的数值方法去模拟该过程。首先,将非线性反应次扩散过程归结为一个等价方程。然后,我们提出一个隐式格式近似这个方程。接着利用新的能量方法给出稳定性和收敛性证明。最后一些数值例子显示这种方法的应用。这种方法和理论结果可以用于分数阶积分微分方程。 第七章,我们讨论的分数阶Cable方程。我们提出了隐式差分方法。利用能量方法讨论了稳定性和收敛性。我们还提出了有限元近似。建立了稳定性和误差估计,并导出收敛阶。数值例子证明了方法的有效性和理论结果的正确性。


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