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分数阶常微分方程和修正反常次扩散方程

杨晨航  
【摘要】: 分数微积分出现至今已经发展了很长一段历史。它的应用领域很广,包含在各种材料的记忆、反常扩散、信号处理、控制理论、粘弹性系统、柔软构造物体的震动控制、自然界中多孔或裂断介质中溶质的反应和扩散以及混沌等现象的描述中得到了诸多应用。比起传统的整数阶微积分模型,在以上这些领域,用新的分数阶模型能更精确地模拟现实问题,能非常有效地描述各种各样物质的记忆和遗传性质,在工程、物理、金融、水文等领域发挥越来越重要的作用。对于整数阶微分方程,相关数值算法理论比较成熟,而对于这些分数阶模型中的分数阶微分方程,数值算法研究起步不久,特别是理论分析方面目前还比较有限。 分数阶常微分方程可用于描述众多物理现象,得到广泛研究。例如,震荡控制模型、混沌模型、分数阶PI~λD~μ控制器的仿真研究。但是大部分仅限于一些应用研究。近年来,分数阶研究者已提出不同的数值解法,大部分对于误差分析还是有很大的困难。目前研究者的关注更多集中于现象解释,对于数值算法分析和应用原理还在探索之中。发展分数阶常微分方程有效数值方法和理论分析,探索分数阶常微分方程的进一步应用,将十分有意义。工程研究人员对之特别感兴趣。 分数阶的动力方程对描述复杂系统的动力传送现象相当有效,如修正反常次扩散方程等。但是求解这类问题相当困难。针对不同情况的反常扩散模型,许多研究人员提出了不同的数值方法,并不断完善误差分析等理论研究。 本篇论文主要研究两类问题:分数阶常微分方程数值方法及其应用,修正反常次扩散问题。 绪言部分介绍了关于分数阶微积分的一些预备知识,给出了分数阶微积分一些基本定义和性质。综述分数阶常微分方程数值方法和分数阶次扩散问题数值方法的近期发展。 第一类问题,考虑分数阶常微分方程数值方法及其应用,由第二章至第四章组成。 第二章中,我们讨论分数阶松弛-震荡方程。我们证明分数阶松弛-震荡方程解的存在唯一性:推导出分数阶松弛-震荡方程的解析解;提出一种计算有效的分数阶预估-校正方法解分数阶松弛-震荡方程,并给出该方法详细误差分析;最后列举一些数值例子来验证理论结果,并显示分数阶松弛-震荡方程解的性态。 第三章中,我们考虑分数阶的反馈控制系统。多项的分数阶常微分方程转换为分数阶常微分方程组。利用分数阶预估-校正方法数值模拟分数阶控制系统,并给出了分数阶常微分方程组数值解法的一些误差分析。最后给出一些数值例子。 第四章中,我们进一步考虑实际物理现象模型中的应用。考虑四种类型的混沌模型:分数阶混沌震荡模型、混沌冲击(jerk)模型、Chen分数阶模型和状态反馈控制。利用计算有效的分数阶预估-校正方法数值模拟这四种类型的混沌模型。数值结果证明分数阶预估-校正方法的模拟情况完全符合混沌物理现象。 第二类问题,考虑修正反常次扩散问题,由第五章和第六章组成。 第五章中,我们考虑带非线性源项的修正反常次扩散方程。目前仍是个开放的问题。为了解决和分析此类问题,我们提出新的隐式差分方法和分析技巧。对该方法进行稳定性和收敛性讨论。数值例子证明我们的理论分析。 第六章中,我们提出了一种新的隐式分数阶预估-校正梯形方法求解修正反常次扩散方程。首先我们给出时间分数阶Riemann-Liouville导数的数值近似。借助离散技巧,把修正反常次扩散方程转换成常微分方程,然后利用隐式分数阶预估-校正梯形方法求解。这个隐式分数阶预估-校正梯形方法有许多优点:不必迭代求解;高精度;在预估梯形方法和校正梯形方法中,具有相同的系数矩阵。我们给出一些数值例子,证实这个隐式分数阶预估-校正梯形方法是一种计算有效的数值方法。这个方法可以应用解其它类型的分数阶偏微分方程。


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