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关于树的谱半径与能量的若干问题

林文水  
【摘要】: 图谱理论是图论的一个重要分支,它主要利用线性代数、矩阵理论等代数工具和技巧,结合图论与组合数学的理论与方法来研究图的谱(即图的邻接矩阵的全体特征值),以及图的谱与图的结构性质、图的不变量之间的关系.由于图的谱在量子化学、电网络与振动理论中有着诸多的应用,特别是著名的Hückel分子轨道(HMO)理论与图谱理论完全等价这一事实被揭示之后,图谱理论受到了广泛的关注.谱技巧也已成为图论和组合学研究中一个重要工具. 图的能量是图的与谱有关的一个重要参数,它被定义为图的所有特征值的绝对值之和.图的能量来源于化学研究领域.对于大部分碳氢化合物分子,其分子图的能量与该分子的总π-电能线性相关.特别地,研究树的能量还可以用于给出无环碳氢化合物分子的共振能. 正因为图的谱和能量有着显著的物理和化学应用背景,它们受到了众多化学家和数学家的关注.研究谱半径或能量极图,图依谱半径或能量的排序,以及图的谱半径或能量与图的其他参数之间的关系成了热门课题. 本文研究树和具有完美匹配的树的谱半径与最大度之间的关系,以及树的能量与最大度的关系.证明了对于具有较大最大度的树或具有完美匹配树,其谱半径随其最大度的增大而严格增大.应用这一关系研究树和具有完美匹配的树依谱半径的排序问题,确定了树依谱半径的排序中第九到第十三个树,给出具有完美匹配的树依谱半径的排序中的第八到第二十个树的范围.论文还确定了给定最大度的树中具有最大能量的树,以及给定较大最大度的树中具有最小能量的树.


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