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几类矩阵的逆特征值问题

吴春红  
【摘要】: 矩阵逆特征值问题的研究领域非常广泛,主要来自于离散的数学物理反问题、控制设计、系统参数识别、地震断层成像技术、主成分分析与勘测、遥感技术、天线讯号处理、地球物理、分子光谱、粒子物理、结构分析、电路理论、机械系统模拟等许多应用领域.矩阵逆特征值问题的研究内容是:对给定的特征值或特征对,能否构造出所要求的特定类的矩阵及满足一定谱约束的最佳逼近. 本文主要讨论了几类矩阵的逆特征值问题.全文共分为五章.第一章介绍了矩阵逆特征值问题的来源、研究内容、发展现状、矩阵逆特征值问题的不同的提法以及本文的结构. 第二章讨论了一类具有特殊形式的矩阵A_n的两类逆特征值问题.问题Ⅰ是由A_n的顺序主子阵A_j(j=1,2,…,n)的最小、最大特征值来构造矩阵A_n;问题Ⅱ是由A_n的顺序主子阵A_j(j=1,2,…,n)的所有特征值来构造矩阵A_n.我们分别给出了两类问题有解的充分必要条件,提供了相应的算法和数值例子,并用数值结果表明我们的算法是很有效的. 第三章研究了两个参数的Jacobi矩阵逆特征值问题(IEP2p):给定两对不同的实数(λ_1,μ_1),(λ_2,μ_2);两非零实向量x=(x_1,x_2,…,x_n)~T,y=(y_1,y_2,…,y_n)~T;对角阵D=diag(d_1,d_2,…,d_n)(d_i≠0,i=1,2,…,n),求n阶Jacobi矩阵A,B,使得((λ_1,μ_1),x),((λ_2,μ_2),y)为广义特征问题的特征对,且D~(-1)A,D~(-1)B可交换.我们得到了IEP2p存在唯一解的充分必要条件,并给出了相应的算法和数值例子. 第四章考虑的是一类逆奇异值问题.给定非负实数σ_1,σ_2,…,σ_n,两非零实向量x=(x_1,x_2,…,x_m)~T,y=(y_1,y_2,…,y_n)~T,求m×n阶实矩阵A,使得σ_1,σ_2,…,σ_n为A的奇异值,并且x,y分别为A的左右奇异向量.我们基于Householder变换和矩阵秩1的修正的方法得到了问题的算法,而且算法比较经济易于并行,同时给出了相应地数值例子. 第五章讨论了次对角元是正数的为酉上Hessenberg矩阵H的逆特征值问题.当k<n时,H的k阶顺序主子阵H_k不再是酉阵,其特征值在单位圆的内部,修正H_k得到酉上Hessenberg矩阵(?)_k,使得(?)_k的特征值位于单位圆上.然后由(?)_k(k=1,2,…,n)的最小、最大特征值来构造出唯一的H,我们得到了问题有解的充分必要条件,并通过数值例子加以说明.


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