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完善匹配层方法的稳定性分析

方能胜  
【摘要】: 完美匹配层方法是当代计算电磁学最流行最有效的计算方法之一.本文主要研究完美匹配层方法的稳定性. 具体地,对微分系统,利用能量方法,我们总结整理了B(?)renger完美匹配层稳定性的结果;对时域差分系统,利用傅里叶方法,我们分析了B(?)renger完美匹配层Cauchy问题的Yee差分格式,并证明了在阻尼常数σ>0的情况下,该系统在一定的网格条件下是谱稳定的,谱稳定性只是一种弱稳定性,但结论不能加强为稳定.理论分析还发现:单轴完美匹配层Cauchy问题的Yee差分格式谱稳定性的网格条件和B(?)renger完美匹配层的一样,并且对两个方向同阻尼的情形还证明了格式是稳定的.为了建立完美匹配层的稳定性的数值理论,我们考虑了麦克斯韦方程用方形单轴完美匹配层截断后的初边值问题,并利用能量方法证明了该微分系统以及时域有限差分系统的稳定性.相应地,极坐标下的圆形单轴完美匹配层截断初边值问题也得到了类似的稳定性结果.本文还给出了相关的数值算例,它们很好地验证了完美匹配层方法的稳定性结果. 本文的创新点在于:1.通过定义一种谱稳定性的概念,利用Miller-Schur判别法则检验增长矩阵,借助符号软件Mathematica,得出了完美匹配层Cauchy问题的时域差分格式的谱稳定的网格条件;2.发现B(?)renger完美匹配层的Yee差分格式的谱稳定性条件和单轴完美匹配层的谱稳定性条件是一样的,并且B(?)renger完美匹配层的谱稳定性结论不能加强,而两个方向同阻尼的UPML差分系统是稳定的;3.在证明单轴完美匹配层截断系统的初边值时域有限差分格式的稳定性时,借用了一系列的等价系统,并利用Taylor公式适当定义分离参数,运用Gronwall不等式,最终证明了离散能量估计的阶相对连续情形是最优的. 本文的意义在于从数学上总结证明了完美匹配层系统的稳定性,建立了麦克斯韦方程的完美匹配层时域有限差分系统稳定性的数值理论,修正和加深了前人对完美匹配层方程稳定性的认识,为完美匹配层方法的数值计算提供理论依据.


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