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阶化平移Toroidal李代数与Baby-TKK代数的表示

孔小丽  
【摘要】: 扩张仿射李代数是一类重要的阶化李代数,它包含了所有有限维单李代数,仿射Kac-Moody代数,以Laurant多项式环面或量子环面为坐标代数的李代数,同时还包含了一类带Jordan代数结构的Tits-Kantor-Kocher代数.Toroidal李代数(加适当的中心和导子)是无扭仿射Kac-Moody代数的推广.它是以多变量的Laurant多项式环面A_v=C[t_1~(±1),…,t_v~(±1)]为坐标代数的扩张仿射李代数.仿射Kac-Moody代数和toroidal李代数的不可约可积表示的分类问题一直是人们关注的焦点,参见[C,CP1,E1,E2,E3,E4,EJ]等.在研究它们的不可约可积表示分类时,涉及到一类中心作用为零的表示,而这类中心作用为零的表示和相应的loop代数或多元loop代数的有限维不可约表示密切相关.所以研究无穷维李代数的有限维不可约表示是有意义的. 本文首先推广了B_l型和D_l型toroidal李代数.设so(n,C)是n(≥3)阶复正交李代数,即所有的n阶反对称矩阵的集合.取它的一组基其中e_(ij)为(i,j)位置是1,其它位置是0的n阶矩阵.设A是任意带单位元的交换结合代数.固定A中的n个元素E_1,…,E_n.在张量空间so(n,C)(?)A上定义双线性运算:其中f,g∈A,l≤i,j,k,l≤n是互不相同的整数,使其构成李代数,称之为阶化平移toroidal李代数,记作L_n(E_1,…,E_n).选取A=A_v.当E_1=…=E_n=1时,L_n(1……1)是多元loop代数,其泛中心扩张是toroidal李代数.文章[LT]中定义的无穷维李代数是n=3的情形.他们给出了L_3(t~(s_1),t~(s_2),1)的导子和泛中心扩张,并且给出了含两个变量的L_3(t_1,t_2,1)的一类顶点算子表示,紧接着在[CLT]中,作者给出了L(t_1,t_2,1)的自同构群和一类Wakimoto模.特别地,当n=3时,文章[SG]也将这一定义推广到A为非交换结合代数的情形.我们定义的这个代数也是[LT]的自然推广. 我们证明了,阶化平移toroidal李代数L_n(E_1,…,E_n)是完全的,当且仅当,{E_1,…,E_n}中任意n-2个元素生成的A的理想是A本身.特别地,我们总选取A=A_v,E_1,…,E_n都是单位,这时存在s_1,…,s_n∈Z_2~v,使得L_n(E_1,…,E_n)同构于L_n(t~(s_1),…,t~(s_n)).本文只考虑这种情形.此时,L_n(t~(s_1),…,t~(s_n))是有限生成的阶化的完全李代数.进一步,我们给出了阶化平移toroidal李代数的导子和泛中心扩张.因为当n=4时,结果很特殊,所以我们都分成两种情况给出结论. 接着我们讨论阶化平移toroidal李代数的有限维不可约表示.通过变量的赋值,我们定义了阶化平移toroidal李代数L_n(t~(s_1),…,t~(s_n))到半单李代数so(n,C)~(⊕N)(N个单李代数so(n,C)的直和)的满同态.通过满同态自然可以将半单李代数的有限维不可约表示诱导为阶化平移toroidal李代数的有限维不可约表示.反之,我们也证明了阶化平移toroidal李代数的有限维不可约表示均可由这种方法给出.值得一提的是,在阶化平移toroidal代数里没有一般的Cartan子代数,故S.Eswara Rao在研究多元loop代数时给出的证明方法这里大部分都不能用.在后面的证明中,我们选取一个有限维交换子代数替代Cartan子代数,用不同的方法给出引理的证明. 由[AABGP]可知,nullity为v的A_1型的扩张仿射根系的分类完全由R~v空间的半格决定.Nullity为0的只可能是有限维单李代数,nullity为1的只可能是仿射Kac-Moody代数.所以一般都是从nullity等于2开始考虑A_1型扩张仿射李代数的结构和表示理论.我们知道在相似的意义下,欧氏空间R~2中只有两个半格,其中一个是全格半格Z~2,另一个是最小的非格半格S.其中baby-TKK代数G(J(S))(加适当的中心和导子)可以看作是除有限维单李代数和仿射Kac-Moody代数之外的最小的扩张仿射李代数.在文章[T3]和[MT1]中,作者给出了baby-TKK代数G(J(S))的泛中心扩张的顶点算子表示.在文章[MT2]中,作者也构造了baby-TKK代数G(J(S))的一类Wakimoto模. 由量子环面C_Q,这里Q=(q_(ij))1≤i,j≤2,(q_(ij)=q~(i-j),其中q为N阶本原单位根)为坐标代数的李代数sl_(l+1)(C_Q)的有限维不可约表示的分类由[EB]给出.在这篇文章中,作者证明了任意一个sl_(l+1)(C_Q)的有限维不可约表示都可以通过一个满同态由半单李代数⊕sl_(N(l+1))(C)(若干个单李代数sl_(N(l+1))直和)的有限维不可约表示提升而得.因为当q=-1时,TKK代数G(J(Z~2))和sl_2(C_Q)同构,所以由[EB]直接可得TKK代数G(J(Z~2))的有限维表示,即G(J(Z~2))的有限维表示可由半单李代数⊕sl_4(C)(若干个单李代数sl_4(C)的直和)的有限维不可约表示提升给出. 将这一结果推广到baby-TKK代数G(J(S))上,我们证明了baby-TKK代数的所有有限维不可约表示都可以由复半单李代数⊕sp_4(C)(若干个单李代数sp_4(C)的直和)的有限维不可约表示提升而得.


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1 孔小丽;阶化平移Toroidal李代数与Baby-TKK代数的表示[D];厦门大学;2009年
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