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有限维Hilbert空间中框架的构造

罗智鹏  
【摘要】:Hilbert空间中的框架概念是Duffin和Schaeffer在1952年为了研究非调和Fourier级数时提出的.它是标准正交基的一种推广.与标准正交基不同的是框架对空间中元素的表示一般不唯一.这种性质使得框架具有广泛的实际应用.目前,有限维空间上的框架引起越来越多的学者的关注.框架的构造是框架理论走向应用的重要步骤,我们非常有必要对有限维空间中框架的构造进行深入的探究.本文在国内外学者研究的基础上,对有限维空间中框架的构造进行探究,得到了以下三部分结果,每部分结果分别给出了构造框架的具体算法.在第一部分,我们分析了有限维空间中框架的存在性,以此为基础提出一种构造3维实空间中框架的具体方法,并结合具体算例,验证该算法的准确性和灵活性.我们还将结果推广到任意有限维实空间中.在任意有限维空间中,根据实际情况,将算法的输入条件分成了两种情形,即:给定框架算子特征值和直接给定框架算子的对应矩阵两种情况.我们以算例验证了该算法的可行性和灵活性.第二部分给出了基于谱块剖分的框架构造算法.利用该算法可以得到所需求框架中任意框架元素的具体表达式.与其他通过迭代方式构造框架的算法相比,本算法不需要通过迭代,只需要利用谱块剖分,就可以构造出所需求的框架,从而使得框架在实际应用中更加方便.第三部分讨论了基于3-PNSTC算法的框架构造.PNSTC算法是一种系统构造有限维空间中框架的方法,但是若给定的两个序列不是谱块预备序列,则不能通过PNSTC算法进行构造.3-PNSTC算法改进和推广了 PNSTC算法,使得某些不能利用PNSTC算法构造的框架,可以利用3-PNSTC算法进行构造.我们首先提出三阶谱块定义,并探讨三阶谱块存在的条件;其次利用三阶谱块给出了构造框架的3-PNSTC算法;最后探讨了该算法可运行的条件,并给出具体算例,验证了算法的可行性和正确性.


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