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一类超线性Sturm-Liouville特征值问题

曾平安  
【摘要】: 本文考虑如下S-L问题: BVP(1.1) 其中R1(u(?))=?u(?)??p(?)u?(?), R2(u(1))=?u(1)??p(1)u?(1), f(x,u)连续,关于u满足局部李氏条件,且对 于固定的x, f(x,u)关于u是奇函数, f(x,?)??,uf(x,u)?,当u??.当f(x,u)关于u是次线性时,1962年 G.H.Pimbley用相平面的方法给出了BVP(1.1)解的全局结构(见[1]).上世纪八、九十年代之后人们 开始用拓扑度和迭合度的方法(自治方程有时用时间映射)研究超线性BVP(1.1)正解,多重解的存在 性(见[2]-[7]).但是由于拓扑度方法本身的局限性,这些文章未能给出超线性BVP(1.1)解的全局结构. 本文受文[1]的启发,应用相平面的方法研究了超线性BVP(1.1).本文的主要结果如下. 设limu?? f(x,u)?u=?(x),limu?? f(x,u)?u=?(x),fu??,ufuu0,当u??.令??n?和??n?分别表示边值问题 和 的特征值,则我们有 定理1 如果上述条件满足,则区间??n??n?(n ?1)属于BVP(1.1)的谱集.当????n??n?时 BVP(1.1) 至少存在两个符号相反的解un?x???和?un?x???,它们在 (?,1)之间恰有n-1个零点。特别地当????1??1 ?时,BVP(1.1)至少存在一个正解和一个负解.而且 ?? un?x??? ??C[??????, ???n; ?? un?x??? ??C[??????, ???n. 并对任意 m?(?,??,存在????n??n?使得BVP(1.1)存在非平凡解un?x???,满足?? un?x??? ??C[????=m. ?=?n是 分歧点,这时?? un?x??? ??C[????=?. 如果p(x)??,f(x,u)=f(u),即BVP(1.1)是自治方程,则定理1中的“至少”和“属于”分别改为“恰 有”和“组成”. 我们的结果给出了BVP(1.1) 解的全局结构一个相对清楚的描叙,特别是对于相应的自治方程 特征问题我们更是给出了其解的全局结构一个完全清晰的刻划, 从而自然地蕴含了[2]-[7]中的结 果.遗憾的是对于BVP(1.1) 当????n??n?时在(?,1)内有n-1个零点的解是否恰有两个以及当??[?n??n] 时BVP(1.1)是否存在解尚不清楚.


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