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两类树的能量与Hosoya指标的排序

叶鹭珍  
【摘要】:设 G=(V,E)是 n 个顶点的简单图,V={v1,v2,…,vn}为顶点集,E={e1,e2,…,em}为边 集。G 的邻接矩阵 A(G)=(aij)n×n, 其中:如果顶点vi 与顶点vj 有边相连,则 aij=1,否则 aij=0. A(G)的特征多项式记为φ(G)= det(xI ? A(G)),其中 I 是 n 阶单位方阵,φ(G) 的根 称为 G 的特征值。特别地,当 T 是一棵 n 个顶点的树时, [n/2] φ(T) = ∑ (?1)km(T, k)xn?2k, k =0 其中 m(T,k)表示 T 的 k-匹配(具有 k 条边的匹配)的数目(m(T,0)定义为 1),一个图 G 的能量(Energy of G)定义为 G 的所有特征值的绝对值的和,我们用 E(G)来表示,即 E(G)= λ1 + λ2 +...+ λn , 其中λi为 G 的特征值。G 的所有匹配数称为 Hosoya 指标(Hosoya index),用 Z(G)表示, 即 Z(G)=m(G,0)+m(G,1)+…+m(G,[n/2])。 对于一棵 n 个顶点的树 T,T 的能量可以用 Coulson 积分公式表示为: 2 +∞ [n/2] E(T)= π ∫ x?2 ln[1+∑ m(T, k)x2 ]dx , k 0 k=1 本文主要讨论两类树的能量与 Hosoya 指标的排序问题。分下列两大部分: 第一部分:主要研究具有固定二部分拆(bipartition)的树的能量与 Hosoya 指标的排序 问题。众所周知,树是一个连通的二部图,设 T 是一棵 n 个顶点的树,则它的顶点集能 够被唯一地分成两个不交子集V1与V2的并,使 T 的每条边只连接V1中的一个点与V2中的 一个点,我们不妨设 V1 = p,V2 = q,且q ≥ p,n=p+q。本文主要研究的是,当 p 与 q 固定时,此类树的能量与 Hosoya 指标的排序问题。我们刻画了此类树中具有最小能量 与次小能量及最小 Hosoya 指标与次小 Hosoya 指标的树。 第二部分:设 n 与 p 是两个固定的正整数,其中n ≥ p+1≥ 3,T 是一棵 n 个顶点,且悬 挂点个数不多于 p 的树。这部分中主要刻画此类树中具有最小能量与最小 Hosoya 指标 的树。


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