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根算子及相关问题探讨

赵旭  
【摘要】:设X是一个无限维Banach空间,B(X)是X上的有界线性算子全体构成的Banach代数,K(X)是B(X)中的紧算子理想,π:B(X)→C(X)表示由B(X)到Calkin代数C(X):=B(X)/K(X)的典则商同态映射,于是产生了B(X)中的一个子集一根算子集I(X),其中每个T∈I(X),就定义为π(T)是Calkin代数C(X)中的Jacobson根者.已知I(X)形成了B(X)中的一个理想.本文主要就是围绕着根算子I(X)的等价特征和性质这一主题而展开的. 全文共分为四章,第一章主要是介绍该课题研究的现状,本文所采用的研究思想方法及所得的主要结果.第二章主要是从一般代数A的角度出发来研究它的Jacobson根Rad(A)的性质与特征,完善了文献[25]中的定理1.4.14的证明,并从Z(A)(Z(A)={a∈A:ab-ba∈Rad(A)})的角度对Rad(A)进行研究,得到了Z(A)∩Q(A)=Rad(A)这一主要结果.在这章的最后我们推广了Rad(B(X))={O}这一命题,得到了相关的结论.在第三章中,一方面我们在第一章研究的基础上得到根算子相应的等价命题,另一方面我们从广义算子理想、算子半群及空间理想的角度出发来探讨根算子的性质特征,并探讨了I(X),R(X),Q(X)三者的包含关系.在这章的最后,我们应用Z(A)∩Q(A)=Rad(A)这一结果来研究遗传不可分解空间上的强不可约算子的性质.在第四章中,我们为了解决Gonzalez等在文献[35]中的问题2.10(设A为一算子理想,若Space(A)=F,是否A(?)I?其中I为根算子理想),我们定义了空间理想Z类可补奇异算子的概念,得到了一个与文献[35]中的问题2.10等价的命题,接着我们定义了与空间理想Z类可补奇异算子类似的弱空间理想Z类奇异算子及弱空间理想Z类余奇异算子的概念,并应用前面所得的结论分别探讨了它们根的性质.


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