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两类算子与局部谱理论

江樵芬  
【摘要】:作为泛函分析重要组成部分的算子谱理论,在数学和物理学的许多分支都有着广泛的应用,如矩阵理论、函数理论、复分析、微分与积分方程、控制论和量子物理学等. 近年来局部谱理论中一些强有力的新工具极大地丰富了算子谱结构的经典研究.特别地,单值扩张性(SVEP)的引入更是使得Fredholm理论与局部谱理论之间的深刻联系变得明显. 本文主要利用局部谱理论研究Banach空间上Kato型算子的两类推广—有广义Kato分解的算子和有拓扑一致降指数的算子.所得主要结果有两个方面: 一方面是关于有广义Kato分解的算子的讨论.把至今为止我们所知道的Kato型算子及其共轭算子的SVEP的所有等价刻画完全地分为了两类:一类可以推广到有广义Kato分解的算子及其共轭算子,另一类则不能推广.特别地,利用逼近点谱与满谱的聚点给出了有广义Kato分解的算子及其共轭算子的SVEP的等价刻画.对于不能推广的等价刻画,给出反例予与说明.接着讨论了算子的广义Kato预解集的连通分支:证明了某些子空间值映射在这些连通分支上的稳定性;利用这些稳定性及SVEP的等价刻画给出这些连通分支的分类;并得到算子谱精细结构的若干有用信息. 另一方面则是关于有拓扑一致降指数的算子的研究.证明了至今为止我们所知道的Kato型算子及其共轭算子的SVEP的所有等价刻画都可以推广到有拓扑一致降指数的算子及其共轭算子.对应地,也讨论了算子的拓扑一致降指数预解集的连通分支:证明了某些子空间值映射在这些连通分支上的稳定性;利用这些稳定性及SVEP的等价刻画给出这些连通分支的分类;并得到算子谱精细结构的更多有用信息. 上述两类算子的处理方法大不相同,并且与Kato型算子的处理方法也不一样. 值得提出的是,在讨论上述两类算子的过程中我们得到如下深刻结果:T是Kato型算子当且仅当T有广义Kato分解且T有拓扑一致降指数.我们还进一步利用这一结果得到了新的算子谱精细结构示意图.


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