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几类非线性波方程的格子玻尔兹曼模型的数值分析及模拟

赖惠林  
【摘要】:非线性偏微分方程(NPDEs)可以用来描述许多重要的数学物理问题.然而只有极少一部分NPDEs可以得到解析解,因此,数值求解显得格外重要.目前已发展了许多成熟有效的数值计算方法,包括有限差分法、有限体积法、有限元法和谱方法等.格子Boltzmann方法(LBM)是近年来提出的一种新兴的介观数值计算方法.由于该方法的一些独特性质,如物理背景清晰、编程容易、计算简单、边界容易处理、并行性能好和可扩展性强,使得其迅速成为一个极具发展前景的数值模拟方法,并在诸如偏微分方程的求解,多相流、多孔介质流、湍流和微尺度流体等方面取得了不少成果.本文研究构造了三类重要的NPDEs的格子Boltzmann模型,进一步证实了LBM高效实用的数值计算能力,主要工作具体如下: 首先,本文针对初边值问题的非线性耦合粘性Burgers方程组,构造了一类带修正项的双分布函数格子Boltzmann模型.由于宏观方程组中含有非线性项a(uv)/ax,若采用标准格子Boltzmann方程则较难恢复,也尚未见到相关研究报道.本文采用非标准的修正格子Boltzmann方程,通过合理选择适当的局部平衡态分布函数和修正函数,再应用Chapman-Enskog多尺度分析,可以正确恢复出相对应的宏观非线性方程组.网格相关性分析表明所构造的模型是收敛的,而且具有二阶空间精度.我们选择几个具有解析解的初边值问题进行数值模拟,并与改进的有限差分法和Chebyshev谱配置法的数值解进行误差比较.数值结果表明,所构造格子Boltz-mann模型的误差精度高于前两种数值格式.此外,本文还选择没有解析解的初边值问题进行数值研究,并与改进的有限差分法的数值解进行比对.数值结果表明,两种计算格式的数值解十分吻合,能够反映波随着时间推移的非线性典型特征,进一步验证了本文所构造模型的有效性和稳定性. 其次,本文针对初边值问题的广义非线性阻尼波动方程,构造了一类带修正项的非标准格子Boltzmann模型.通过合理选取不同的演化方程和适当的局部平衡态分布函数与修正函数,应用Chapman-Enskog多尺度分析,可以正确恢复出包括阻尼项在内的广义非线性阻尼波动方程.在模型推导过程中,只对分布函数进行多尺度展开,大大简化了模型的理论推导,同时也拓广了模型的适用范围.通过对包括Second-order telegraph方程、非线性Klein-Gordon方程和Damped, driven sine-Gordon方程等在内的具有解析解的初边值问题进行数值验算,并与改进的有限差分法和径向基函数法的数值解进行误差对比,结果表明所构造的格子Boltzmann模型的数值解更为精确.与此同时,对宏观方程相同而初边值不同的没有解析解的问题也进行了数值模拟,并与改进的有限差分法进行对比.数值结果表明,所构造的格子Boltzmann模型的数值解与改进的有限差分法的数值解非常吻合,数值解清晰地反映出了非线性波的传播特征. 最后,本文针对初边值问题的广义非线性二阶Benjamin-Ono方程,构造了一类D1Q5带修正项的非标准格子Boltzmann模型.由于宏观非线性方程中含有高阶导数项a4u/ax4和非线性项a2u2/ax2,其复杂程度和非线性程度都较高.本文通过合理修改已有模型的局部平衡态分布函数和修正函数,应用Chapman-Enskog多尺度分析,可以正确恢复出宏观非线性方程.数值实验中,本文选取具有解析解的‘'good" Boussinesq方程和"bad" Boussinesq方程进行数值模拟,并针对同一方程的不同初边值问题进行数值分析.数值结果表明,所构造模型在一定范围内是可行有效的.该模型的建立可以为进一步应用LBM数值求解其他NPDEs提供参考和借鉴作用. 综上所述,本文的工作不仅可以丰富LBM在求解NPDEs方面的应用,而且可以为今后求解更为复杂的非线性问题提供参考.因此该项研究具有重要的理论意义与应用价值.


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