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电磁场与流体计算中的离散鞍点系统的预处理算法研究

黄娜  
【摘要】:电磁场与流体计算在气象学、海洋学、生物医学等科学与工程领域的重要性是不言而喻的.麦克斯韦方程组是描述电场与磁场运动的基本模型.获取该方程组的数值解在电子工程尤其是微波与天线工程领域有着重要的地位.而描述流体运动特征的基本方程则是Stokes方程和Navier-Stokes方程,所以如何有效求解Stokes方程与Navier-Stokes方程是解决流体计算问题的关键.不论是麦克斯韦方程组,亦或是Stokes方程与Navier-Stokes方程,通过有限差分法、有限体积法或有限元法离散后,均生成具有特殊结构的线性方程组,即所谓的鞍点问题.因此探讨迭代法求解鞍点问题具有重大的现实意义.本文将研究由电磁波散射问题离散生成的对称不定方程组、由时变麦克斯韦方程组离散生成的3×3块鞍点问题、由Stokes方程离散生成的非奇异鞍点问题或其等价的非对称形式、奇异的广义鞍点问题以及由Navier-Stokes方程离散生成的非线性鞍点问题的数值解法及其预处理技术,并给出数值算法的收敛性分析与预处理矩阵的特征值界的估计.具体结构如下:第一章,简要介绍利用棱单元法离散电磁波散射问题的过程,并讨论快速求解离散得到的对称不定线性方程组的方法.为了保持对称性,本章用块三角预条件子双边预处理系数矩阵,并分别给出预处理矩阵的正特征值与负特征值的上、下界.另一方面,本章还研究另一种块三角预条件子且仅作单边预处理,并分析预处理矩阵特征值实部与虚部的界.最后给出数值实验证明所提预条件子的可行性.第二章,考虑有限元离散三维Lipschitz多面体域上的带有间断系数的时变麦克斯韦方程组,并探究有效的预处理技术求解离散生成的3×3块鞍点问题.本章提出一个精确的块对角预条件子求解对称鞍点问题及其等价的非对称形式,并证明对应的预处理矩阵只有六个互不相同的特征值.为了实际应用的需要,本章还构造了一类非精确块对角预条件子.对于对称形式的方程,分别估计了预处理矩阵正特征值与负特征值的上、下界.非对称形式则分别给出预处理矩阵实特征值与复特征值的实部及虚部的界.数值算例验证所提新的预条件子的有效性与稳定性.第三章,利用混合有限元法将Stokes方程离散成线性鞍点问题.通过对离散生成的线性方程组的系数矩阵再分块,构造了求解Stokes方程离散鞍点系统的两个新的迭代法.一个是将块Gauss-Seidel方法与Uzawa迭代法相结合,我们称之为BGS-Uzawa迭代法.另一个则是在块Jacobi方法与Uzawa迭代法基础上建立了变参数的BJ-Uzawa算法.在参数满足一定的条件下,分别研究了这两种新算法的收敛性.最后给出一些数值算例,将本章所提算法与逐次超松弛方法及Uzawa方法作比较,验证这两种新算法的可行性与有效性.第四章,继续研究由Stokes方程离散生成的鞍点问题.将该鞍点问题进行巧妙的预处理,基于对预处理矩阵的分裂构造了新的预处理迭代法(简记为PTU方法).同时在适当假设下给出了PTU方法收敛性分析以及最优参数的选取方式.然后,对PTU方法所诱导出的新的预条件子进行研究,讨论了预处理矩阵的谱性质.此外,基于PTU方法,本章还建立非线性非精确PTU迭代法,并研究了收敛性条件与最优参数的选取方式.数值实验证明本章所提的算法是有竞争力的.第五章,仍旧探讨求解Stokes方程离散鞍点系统的有效算法.本章针对该鞍点问题的非对称形式提出了一类非精确松弛退化的正定与反Hermitian分裂(RDPSS)预条件子.这类预条件子是对松弛退化的正定与反Hermitian分裂(PSS)预条件子[206]的技术改进.PSS预条件子是由文献[29]研究的用于求解非Hermitian正定线性方程组的正定与反Hermitian分裂(PSS)迭代法直接导出.数值模拟验证了所提的非精确RDPSS预条件子优于现有的一类预条件子.第六章,先对Stokes方程进行稳定化处理,再将其离散成线性广义鞍点问题.本章首先给出广义鞍点矩阵的特征值更精确的界,然后构造一类新的非奇异预条件子,证明了用广义极小残量法求解相应预处理方程时,对任意初始向量,广义极小残量法均能收敛于原问题的解且不出现中断.此外还分析了预处理矩阵的谱性质.将这些非奇异预条件子应用于求解由Stokes方程离散生成的奇异鞍点系统,通过数值实验考察这些非奇异预条件子的数值表现.第七章,直接对Navier-Stokes方程采用混合有限元离散,得到一组特殊结构的非线性方程组,即非线性鞍点问题.本章主要致力于构造求解非线性鞍点问题有效的Uzawa型算法.基于一步牛顿格式,提出两个求解该非线性方程的非线性非精确Uzawa混合算法.借助能量范数,证明了所提算法在合理假设下的收敛性.最后,通过数值实验说明所提算法的有效性。


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