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广义布朗运动和广义布朗单的Girsanov型测度变换及其应用

奚晓军  
【摘要】: 随着Merton.R和Scholes.M凭借Black-Scholes期权定价模型获得了1997年的诺贝尔经济学奖,Black-Scholes期权定价理论引起了金融界的高度重视,被誉为“华尔街的第二次革命”。在Black-Scholes期权定价模型的推导论证过程中,基于布朗运动的Girsanov型测度变换定理起了至关重要的作用。如今,Girsanov定理在数理金融理论中已成为一件不可或缺的工具。用随机过程描述变化中的随机现象仅仅用单指标随机过程是远远不够的。在许多情况下,往往需要用多指标随机过程才能准确刻画随机现象。无论在理论上还是在实际应用中,常常涉及广义布朗单和广义布朗运动。于是人们自然要问:广义布朗单和广义布朗运动的Girsanov型测度变换情况如何?有何应用?本文试图就这些问题展开深入探讨,揭示了广义布朗单和广义布朗运动的Girsanov型测度变换,并且把它应用于解决一类带漂移的广义布朗单在增轨道上的最大值的概率分布问题和一类带漂移的广义布朗运动首达时的概率分布问题,具体如下: (Ⅰ)给出广义布朗单的Girsanov型测度变换定理: 定理1设{F_z)满足通常条件,{W_z,F_z;z∈R_(z_0)}为(Ω,F,P)上的GBS-F。定义Z_z(θ)=exp{integral from n=R_z(θ_udW_u)-1/2integral from n=R_z(θ_u~2dF(u))},其中θ∈H_0。若θ为有界的,定义(?)_z=W_z-integral from n=R_z(θ_udF(u)),则在概率测度(?):(?)(A)=E(I_AZ_(z_0)),A∈F_(z_0)之下,{(?)_z,F_z;z∈R_(z_0)}为(Ω,F,(?))上的GBS-F。 (Ⅱ)给出广义布朗运动的Girsanov型测度变换定理: 定理2设{F_t}满足通常条件,B={B_t=(B_t~((1)),…,B_t~((d)),F_t;0≤t<∞}为(Ω,F,P)上d维GBM-F,其中F=(F_1,…,F_d),X={(X_t~((1)),…,X_t~((d))),F_t;0≤t<∞)是可测、适应过程并且满足:P[integral from n=0 to T((X_t~((i)))~2dF_i(t))<∞]=1,1≤i≤d,0≤T<∞,定义(?)_t~((i))=B_t~((i))-integral from n=0 to t(X_s~((i))dF_i(s)),1≤i≤d;0≤t<∞,(?)={((?)_t~((1)),…,(?)_t~((d)),F_t;0≤t<∞},及Z_t(X)=exp{sum from i=1 to d integral from n=0 to t(X_s~((i))dB_s~((i)))-1/2integral from n=0 to t(|X_s|~2dF(s))}。若E[exp{1/2integral from n=0 to T(|X_t|~2dF(t))}]<∞;0≤T<∞,则在概率测度(?)_T:(?)_T(A)=E[I_AZ_T(X)],(?)A∈F_T之下,{(?)_t,F_t;0≤t≤T}为(Ω,F_T,(?)_T)上的d维GBM-F。 (Ⅲ)作为上述结果的两个应用: (1)解决带漂移的广义布朗单在增轨道上的最大值的概率分布律问题: 设{W_z,F_z;z∈R_+~2}为(Ω,F,P)上的GBS-F,且Γ={(s,t)∈R_+~2:t=φ(s),0≤s≤s_0)为一条连接0和z_0=(s_0,t_0)的增轨道,P((?)(W_z-cF(z))≥λ)=|λ|/2π~(1/2)integral from n=0 to s_0([F(G(t))]~(3/2))exp{-cλ-c~2/2F(G(t))-λ~2/2F(G(t))}dF(G(t)),其中G(s)=(s,φ(s))。 (2)解决一类带漂移的广义布朗运动首达时的概率分布律问题: 设{(?)_t,(?)_t;0≤t<∞}为(Ω,F,P)上的GBM-F,(?)_b=inf{t≥0,(?)_t-ct=b};b≠0,它是带漂移的广义布朗运动{(?)_t-ct,(?)_t,t≥0}关于b≠0的首达时,其中F′(t)=α_1I_([0≤t≤α])+α_2I_([t>α])。 当0≤t≤α时,有P((?)_b∈dt)=|b|/2πα_1t~3~(1/2)exp{-cb/α_1-c~2t/2α_1-b~2/2α_1t}dt。 当t>α时,有P((?)_b∈dt)=(integral from n=-∞to +∞(g(x)1/2πα_1α~(1/2)e~(-x~2/2α_1αdx-integral from n=-∞to +∞integral from n=0 toαg(b+x)1/2πα_1~2s((α-s)s)~(1/2)exp{-x~2/2α_1(α-s)-b~2/2α_1s}dsdx)dt,其中g(x)=|b-x|/(2π[α_2(t-α)]~3)~(1/2)exp{-(b-x)~2/(2α_2(t-α))-(1/α~1-1/α_2)(cx+αc~2/2)-c/2α_2(2b+tc)}。


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