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非线性振动方程的渐近解及其数值验证

蔡萍  
【摘要】: 改进的Lindstedt-Poincaré(L-P)法在传统的L-P法的基础上,对频率的展开式作了改进;卷积分法则提供了一个求近似解的迭代格式。用这两种方法求得平方非线性振动方程的二阶渐近解,并用Picard逐步逼近法证明由卷积分法得到的渐近解在有限的时间上是一致收敛的。当参数值较小时,应用一种数值阶验证技术证实这两种方法求得的渐近解都是一致有效的。当参数值较大时,渐近解的误差较大,表明它们对大参数无效,原因是这两种方法得到的频率的展开式仅对小的参数值有效。因此,这两种方法在平方非线性振动方程中的应用受到小参数的限制。 考虑一个来源于改进Van del Pol振动方程的带有慢变参数的广义Van del Pol方程。分别用Taylor级数展开法、近似势能法、等效非线性化法得到三个近似的立方强非线性振动方程。用Kuzmak-Luke(K-L)多尺度法求出这三个立方强非线性振动方程的首阶渐近解,从数值上验证K-L多尺度法对小参数有效,但非一致有效,并简单分析其原因。首阶渐近解的误差分析表明其误差在数值上近似为小参数的十分之一,并利用不同大小的振幅对三种方法的精确度作了比较。


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