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基于平均逆映射的高效差分格式及其应用

刘珺  
【摘要】:本文主要研究求解非线性双曲型守恒律方程的便于计算、一致高阶精度且高分辨率无振荡的数值方法。众所周知,求解双曲型守恒律初值问题的主要困难是:无论初值函数如何光滑,它的解都可能含有间断。在构造有限差分格式数值求解双曲型守恒律方程的过程中,一阶格式计算在间断处会产生过抹,高阶格式计算在间断处会产生数值振荡,为避免产生数值振荡,通常使用的方法是采用TVD限制器函数进行校正,但格式在间断和极值点处会退化为一阶精度。基于此,本文提出了一种能够解决间断处精度不足的新方法——平均逆映射方法,将其分别应用于中心差分格式、通量分裂格式以及待定系数法所构造的格式,构造了几类求解非线性双曲型守恒律的高精度高分辨率差分格式,并通过大量典型数值算例验证了格式的高效性。本文的主要内容如下: 1.基于平均逆映射方法选取数值导数替代TVD限制器函数方法选取数值导数,以交错型和非交错型Lax-Friedrichs格式为基本构筑模板,利用分段线性重构代替分段常数逼近,分别构造了一类求解非线性双曲型守恒律方程的基于平均逆映射的二阶交错型和非交错型的中心差分格式。进一步地,利用分段三次多项式重构,结合四阶Runge-Kutta NCE方法计算中间时间点的值,构造了一类求解非线性双曲型守恒律方程的四阶中心差分格式。然后,按分量方法推广到方程组情形。最后,给出一些典型的数值实验,验证了所得格式具有形式简单、一致高阶精度、高分辨率且稳定等特性;比较了基于平均逆映射方法选取数值导数与基于TVD限制器函数方法选取数值导数的计算效果,验证本章方法的高效性。 2.采用通量分裂方法,基于平均逆映射方法构造正、负通量的数值导数,分别构造了一类求解非线性双曲型守恒律方程的基于平均逆映射的二阶和三阶精度的通量分裂差分格式。按分量方法推广到方程组情形。之后,给出一些典型的数值实验,验证了所得二阶和三阶通量分裂差分格式具有形式简单、一致高阶精度、高分辨率且稳定等特性。比较和分析了基于平均逆映射方法与基于TVD限制器函数方法选取数值导数的计算结果。 3.利用待定系数法分别推导了通量函数一阶空间导数的二阶和三阶差分逼近,其次,基于平均逆映射方法和TVD限制器函数方法对差分逼近加以校正,并结合Runge-Kutta TVD时间离散方法,分别构造了一类二阶和三阶无振荡差分格式。给出一些典型的数值实验,验证了所得基于平均逆映射和待定系数法的二阶和三阶差分格式具有形式简单,计算量小、高分辨率且稳定等特性。 4.基于浅水波方程与双曲型守恒律方程之间的紧密联系,把第2章中得出的求解双曲型守恒律的二阶交错型无振荡中心差分格式推广应用于求解浅水波方程,得到了求解无源项浅水波方程的二阶交错型无振荡中心差分格式。最后,给出标准数值算例验证所得格式的无振荡性质. 5.对本文所得到的基于平均逆映射的三种不同类型的格式进行了比较,并且提出了今后下一步工作的展望。


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