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力学系统中的高阶运动微分方程与对称性和守恒量

施勇  
【摘要】: 现代分析力学的研究主要包括两个方面:一、高阶运动微分方程的研究;二、力学系统的对称性与守恒量的研究。 针对以上两个方面内容,我做了一些有意义的理论研究工作,并取得了一定的成果: 1.利用Mathematica数学软件计算了函数r = r ( q ( t ),t)各变量之间偏导和高阶导数的关系,发现它们遵守杨辉三角形规律。结合杨辉三角形的对称性规律和牛顿第二定律,推导出n-1阶力变率和n-1阶速度能量所满足的高阶运动微分方程,它们描述了力学系统的2n-m+1阶运动微分方程。通过进一步发展理想约束的概念,推导出了完整理想约束系统下的高阶运动微分方程。 2.发现了高阶Lagrange函数与广义坐标的函数关系,并结合Lagrange方程,利用高阶Lagrange函数推导高阶运动微分程,它们描述了力学系统的n-m+3阶运动微分方程,并举例说明了它们的应用。 3.研究了等时变分和微分的无限小变换的生成元向量以及它们的n次扩展,利用微分与变分的关系推导了力学系统的守恒量。 4.研究了不同力学系统的三阶Lagrange方程,给出了它们的Noether对称性判据和守恒量,再研究了完整力学系统和完整有势力学系统三阶Lagrange方程的Mei对称性判据、结构方程和守恒量,并讨论了Noether对称和Mei对称的联系。最后举例说明结果的应用。


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