John区域与Nehari函数

【摘要】： 本文研究了John区域的几个等价命题和Nehari函数与极值度量的增长以及Nehari函数的一些性质． John区域的概念是F.John于1961年在研究平面弹性理论时引入的．由于John区域与区域的多种度量有着密切联系，John区域已成为复动力系统、逼近论和弹性理论中的重要研究对象，关于John区域的研究引起了人们的广泛兴趣． 自从Kraus证明了单位圆盘上解析函数单叶性的一个必要条件后,Nehari于1949年运用面积定理，即通过对单位圆盘上给定解析函数的级数展开式的系数估计，独立地证明了这一结果．它对讨论Schwarz导数和共形映射的联系起到了开创性的作用，这个结果揭示了Schwarz导数的增长和单叶性的关系，Nehari的工作当即引起了广泛的关注．从此，在对解析函数单叶性的研究中也慢慢的引入了Nehari函数这样一个概念．国内外有不少学者对Nehari函数引起了极大的兴趣． 本文根据John区域的定义，应用Nehari函数和Schwarz导数的相关性质，运用函数论方法，针对满足一般的Nehari单叶性条件的函数f,研究了f(D)成为John区域的条件，同时研究了一般Nehari函数的极值共形度量的增长性和单位圆在Nehari函数映照下的边界变化情况． 本文共分四章： 第一章，绪论．在这一章中，我们简要介绍Nehari函数的研究状况和John区域以及Schwarz导数和它的相关性质． 第二章，John区域的等价条件．John区域可以看成是满足拟圆单边条件的区域．针对满足一般的Nehari单叶性条件的函数f，研究了f(D)成为John区域的条件． 第三章，Nehari函数与极值度量的增长．本章从满足|S_f(z)|＜2a(1+(1-a)|z|~2)(1-|z|~2)~(-2),1≤a≤2和就范条件f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=0的局部单叶的解析函数着手，通过考虑极值度量u(f(rζ))=[(1-r~2)~2|f'(rζ)|]~(-1),研究了u的增长率且给出了|(?)log u|相应的下界. 第四章，Nehari函数的一些性质．本章根据John区域的一个等价条件，研究了Nehari函数的球面度量的有界性以及对于局部单叶的解析函数f，当f满足某种就范条件时，Nehari函数的边界变化情况.