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奇异离散线性哈密顿系统的亏指数及自伴扩张

任国静  
【摘要】:连续Hamilton(哈密顿)系统的基本理论研究开始于十九世纪三十年代.一切守恒的真实的物理过程都可以表示为Hamilton系统.因此,自从连续Hamilton基本理论建立以来,它就成为非线性科学领域里面一个重要的组成部分,并且在数理科学、生命科学等领域,特别是量子力学、生物工程中有着广泛且重要的应用(参见[4,67]及其参考文献). 微分算子的谱问题主要可以分为两类:定义在有限闭区间上且系数具有很好性质的谱问题称为正则的谱问题;否则称为奇异的谱问题.正则的谱问题的研究已经形成了比较完整的理论体系,如特征值的性质,特征函数的正交性,平方可积解关于特征函数的展开定理,Rayleigh原理以及正交多项式理论等.同正则情况相比,奇异谱问题的研究相对复杂而困难.因为正则情况下的谱只有点谱,而奇异情况下除点谱外还可能产生其它谱点,如连续谱和奇异点谱. 无论是理论上还是应用上,微分算子谱问题的研究都具有重要的意义.而对称算子的自伴扩张问题在算子谱问题的研究中是极其重要的.研究对称算子的自伴扩张问题主要有两种方法,一是von Neumann理论(参见[99]).经典的von Neumann理论给出了抽象的Hilbert空间中闭对称算子存在自伴扩张的充分必要条件.闭对称算子的自伴扩张可以通过对其伴随算子加适当的边界条件得到.第二种方法就是Glazman-Krein-Naimark (GKN)理论(参见[68]).它是由前苏联数学家Glazman, Krein及Naimark于1950年创立.GKN理论将辛几何和辛代数的理论应用于Hilbert空间中对称算子自伴扩张的研究中,指出所有的自伴算子扩张都可以通过对GKN集加适当的边界条件得到.对于奇异连续线性Hamilton系统,如果相应的确定性条件满足,由该系统生成的最大算子是良好定义的,最小算子是稠定的,而且最小算子的正负亏指数恰好等于该系统在上下半平面线性无关平方可积解的个数(参见[59,60,80].利用von Neumann理论和GKN理论,连续Hamilton系统(包括高阶对称微分方程)的自伴扩张域已经给出了完全的刻画(参见[13:14,15,41,75,90,91,92]等).但是,如果相应的确定性条件不满足,则最大算子可能是多值的,即不是通常意义下的算子,而且最小算子也可能不是稠定的[64].从而前面提到的方法就不适用了. 随着信息技术的飞速发展和数字化计算机的广泛应用,出现了很多以离散Hamil-ton系统为支撑的数学模型.从而对离散Hamilton系统的研究引起了越来越多的学者的关注(参见[2,6,9,10,11,12,20,81,85]及其参考文献).离散系统有其实际的应用背景.众所周知,连续系统通常用微分系统来描述,但有些系统(如采样系统)却不能用微分系统来描述,而只能用离散系统来描述.另一方面,对于一般的非线性微分系统,其精确解是无法求出的,所以常常将其离散化为离散系统求其近似解.因此,离散Hamilton系统,不仅来源于连续Hamilton系统的离散化,也来自于遵循Hamilton原理的离散过程,比如离散物理问题,离散控制问题等.虽然离散系统与其对应的连续系统有很多相似之处,但也有很多不同之处.而且,在某些方面,离散系统的问题研究起来更困难. 离散的谱问题也分为两类,定义在有限闭区间上且系数具有很好性质的谱问题称为正则的谱问题;否则称为奇异的谱问题.与连续系统相比,离散系统问题的研究还不是那么全面.对于正则谱问题的研究历史已经很长,并且取得了很多好的结果(参见[1,2,11,12,17,18,35,56,85]等)Atkinson[6]首先研究了无限区间上二阶对称的纯量差分方程的奇异谱问题,接着Hinton和Lewis等人做了进一步研究[48].随后史玉明,陈绍著,Clark, Smith, Bohner, Dosly, Jirari孙华清等对二阶及高阶形式自伴的向量差分方程与离散Hamilton系统的谱问题进行了研究[16,19,54,66,71,72,84,85,86,87]. Clark与Gesztesy研究了具有分离型边值条件的奇异离散Hamilton系统的Titchmarsh-Weyl理论[20].对于奇异离散线性Hamilton系统史玉明建立了它的Titchmarsh-Weyl理论[81].随后,孙书荣、史玉明和陈绍著建立了奇异离散Hamilton系统的自伴扩张理论[95].孙华清在其博士论文中给出了由它生成的最小算子的自伴扩张域的刻画[89].但是,随后史玉明和孙华清发现,即使相应的确定性条件成立,文献[81,89,95]中定义的最大算子可能是多值的,即这里定义的最大算子不是通常意义下的算子,而且最小算子可能是不稠定的.不仅如此,最小算子也可能是多值的.这是差分方程与微分方程的又一个重要不同之处.所以我们有必要对离散系统的确定性条件作进一步深入的分析,并对前面出现的问题予以修正. 由于离散Hamilton系统生成的最小算子可能是多值的和不稠定的,按照经典的算子理论它没有伴随算子.进而,其它的一些算子理论,如之前介绍过的适用于稠定Hermite算子的von Neumann自伴扩张理论和GKN理论,对离散系统就不适用了.为了解决这些问题,一些学者将稠定的Hermite算子的概念和相关理论推广到Hermite线性子空间Coddington和他的合作者[22,23,24]首先成功地将适用于对称算子的von Neumann自伴扩张理论推广到Hermite子空间.然后,证明了一个Hermite子空间有自伴子空间扩张的充分必要条件是其正负亏指数相等.随后,Lesch和Malamud把von Neumann公式推广到Hermite子空间[64].最近,史玉明又将经典的GKN理论推广到Hermite子空间[82],并在此基础上给出二阶形式自伴差分方程自伴子空间的全部刻画[83].这是奇异差分算子自伴扩张研究的先河. 根据经典的或推广的von Neumann理论,一个对称算子或闭Hermite子空间有自伴扩张当且仅当其正负亏指数相等,并且自伴扩张的表达式与亏指数有直接关系.因此,无论是微分算子还是差分算子,亏指数对研究自伴扩张有非常重要的意义.我们已经知道,在确定性条件下,由2m阶实系数形式自伴纯量微分方程生成的微分算子的正负亏指数相等,即d+=d-=d,且d恰好等于当λ∈C\R时该方程线性无关平方可积解的个数.对微分算子亏指数的研究结果有很多,如[27,28,29,30,33,37,42,55,57,58,62,63,65,70,98,102].特别地,Glazman在文献[43]中证明当区间(a,b)=(0,+∞),且x=0是正则点时,亏指数d满足不等式m≤d≤2m,且这个范围内的所有值都可以取到.另外,对于复系数形式自伴微分方程,正负亏指数可能不相等Mcleod在文献[65]中给出了一个正负亏指数是(2,3)的四阶复系数微分方程的例子.对于形式自伴差分方程来说,这方面的研究结果很少. 本文研究奇异离散线性Hamilton系统的谱理论,包括离散线性Hamilton系统的确定性条件和亏指数,极限点型和极限圆型的判定;离散线性Hamilton系统的自伴子空间扩张的刻画和自伴算子扩张的刻画;2m阶形式自伴差分方程亏指数的取值范围,极限点型和强极限点型的判定,及其自伴算子扩张的刻画. 本文分为五章.第一章是知识准备,介绍线性子空间,特别是Hermite线性子空间的基本知识,本文常用的矩阵的基本结论以及离散线性Hamilton系统的基本知识. 第二章主要考虑离散线性Hamilton系统的确定性条件和亏指数.首先证明最小子空间的伴随子空间等于最大子空间.这个结论对后面研究由离散线性Hamilton系统生成的最小子空间的亏指数和自伴扩张起到非常重要的作用.然后系统地研究了确定性条件,给出确定性条件的多个等价的叙述和多个充分条件.在此基础上,建立了离散线性Hamilton系统生成的最小子空间的的亏指数与离散线性Hamilton系统线性无关平方可和解个数之间的关系式.特别地,证明亏指数与线性无关平方可和解个数相等的充分必要条件是确定性条件成立.这为接下来研究最小子空问的自伴扩张作好了铺垫.最后,给出几个极限点型和极限圆型的判定. 在第三章中,我们讨论离散线性Hamilton系统生成的最小子空间的自伴子空间扩张.在第二章结果的基础上,首先,对离散线性Hamilton系统生成的最小子空间进行刻画.然后,利用线性无关平方可和解再对最大子空间进行刻画.最后,利用边界条件和线性无关平方可和解给出最小子空间的所有自伴子空间扩张的刻画.本章内容修正了文献[89]中的相应结果. 我们知道,只有当最小子空间是算子时,它才有可能有自伴算子扩张.根据Coddington的结论,一个Hermite算子有自伴算子扩张的充分必要条件是其正负亏指数相等,并且所有这些自伴算子扩张都包含于其自伴子空间扩张中.所以,我们可以通过对自伴子空间适当加强条件而得到其自伴算子扩张.因此,要想给出最小子空间的自伴算子扩张,必须首先判断最小子空间是否是算子.在第四章,首先分别给出最小算子H0是算子的条件和是稠定的条件,然后再根据第三章所得的最小子空间自伴子空间扩张的刻画,给出最小子空间的自伴算子扩张的刻画. 最后,第五章考虑2m阶形式自伴差分方程的亏指数和自伴算子扩张的刻画.首先证明对于实系数纯量差分方程,正负亏指数相等,即d+=d-=d,且满足不等式m≤d≤2m,而且证明在这个范围内的值都可以取到.这与Glazman关于微分方程的结论是一致的,但证明方法不一样.然后考虑纯量方程的极限点型和强极限点型的判定.最后,给出2m阶向量差分方程的所有自伴算子扩张的刻画.


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