离散动力系统的混沌判定和扰动

【摘要】：混沌(chaos)是非线性科学研究的中心,是非线性动力系统普遍存在的一种运动形式.同时,混沌研究对非线性动力学的发展起着全局性、本质性的影响.非线性动力学的某些研究一开始就与混沌探索联系在一起.但是,直到20世纪50年代末,混沌理论创立之前,混沌概念还是极其模糊的.即使现在,不同领域对混沌的理解也很不相同.一般而言,混沌是指在确定性系统中,不需要附加任何随机因素亦可出现的类似随机的动力学行为.混沌系统的最大特点就在于系统的演化对初始条件十分敏感.因此,从长期意义上讲,系统的行为是不可预测的. 关于动力系统混沌的研究吸引了许多科学家和数学家的兴趣.1975年,Li与Yorke [33]研究了连续区间映射,得到了一个著名的结果：“周期3蕴含混沌”.该判定定理在研究一维离散动力系统的混沌问题时有非常重要的作用.在该文中他们首次给出混沌的一个数学定义.之后,出现了几个不同的混沌定义[6,15,50,61].有些较强而有些较弱,依赖于对不同问题研究的需要.1978年,F.R. Marotto受Li-Yorke工作的启发,把Li-Yorke定理推广到n维空间,并给出了扩张不动点和返回扩张不动点的概念Marotto定理[46,定理3.1]证明了返回扩张不动点导致Li-Yorke意义下混沌.1998年,陈巩等人发现文献[46]有一个错误[11].2004年,史玉明和陈关荣给出了Marotto定理的修正定理[67,定理4.5].同年,史玉明和陈关荣抓住扩张不动点和返回扩张不动点的本质,把Marotto对Rn中连续可微映射定义的扩张不动点和返回扩张不动点的概念推广到了一般度量空间中[66]并且史玉明等人建立了几个完备度量空间上离散动力系统的混沌判定定理[66,67,73].2006年,林伟和陈关荣建立了异宿扩张不动点导致混沌的判定定理[41].2008年,李宗成,史玉明和张超把异宿扩张不动点这个概念推广到了一般度量空间中[35].他们为了更加直观的反映扩张不动点之间的关系,将其称之为连接扩张不动点异宿环.并在一般Banach空间以及完备度量空间上建立了连接扩张不动点异宿环导致混沌的判定定理[34-38]. 1992年,Block和Coppel在研究连续区间映射时引入了“紊乱映射”(turbulent map)的概念[10].并证明了如果连续区间映射f是严格紊乱的,那么f在一个紧子集上拓扑半共轭于单边符号动力系统[10,第二章,命题15].由于单边符号动力系统有正的拓扑熵,故f有正的拓扑熵,从而f是在Devaney和Li-Yorke意义下混沌[9,10,32].2004年,杨晓松和唐云将该结果推广到了一般度量空间中[88,定理1].2006年,史玉明和陈关荣将紊乱的概念推广到了一般的度量空间.为避免和流体力学中湍流中的英文单词"turbulence"混淆,他们将之更名为耦合扩张映射"coupled-expanding map"[69]之后,史玉明与她的合作者不仅对度量空间中的紧集,而且对完备度量空间中的有界闭集(不必是紧集),建立了一些由映射的耦合扩张性导致混沌的判定定理[66-68,71-74,92]. 研究混沌动力系统的扰动问题是非常有意义的,因为实际应用中的系统经常会受各种各样的外界因素的干扰Marotto在文献[47,48]中讨论了返回扩张不动点的扰动问题,并证明了如果xn+1=f(xn,0)有返回扩张不动点,那么存在常数ε0,使得当|λ|ε时,映射xn+1=f(xn,λxn-1)具有横截同宿轨,其中f：R2→R是C1映射.随后,Li和Lyu证明了：在欧氏空间中,如果映射具有返回扩张不动点,那么在充分小的C1扰动下,受扰映射依然具有返回扩张不动点,从而仍然是在Li-Yorke意义下混沌[31].值得注意的是上面讨论的扰动问题都是在有限维空间中进行讨论的.在本文中,我们将考虑在一般Banach空间中返回扩张不动点的扰动问题,并得到在Banach空间中具有正则非退化返回扩张不动点的映射在小扰动下依然具有正则非退化返回扩张不动点,从而受扰映射依然是在Devaney和Li-Yorke意义下混沌. 结构稳定性是动力系统理论中非常重要的研究课题之一,它意味着系统的拓扑动力学行为在小扰动下保持不变的.结构稳定的思想要归功于Poincare在研究三体问题时的工作[56]Lefschetz将Andronov和Khaikin的著作[3]翻译成英语时首次提出“结构稳定”一词.从此,结构稳定作为一个数学名词被应用.此后,结构稳定问题被广泛研究,并取得了一些漂亮的结果[58,61,93].在文献[93]中,张旭,史玉明和陈关荣研究了欧氏空间中A-耦合扩张映射的结构稳定问题.我们将在本文中讨论一般Banach空间中返回扩张不动点的结构稳定性问题.这一结论要比小扰动下返回扩张不动点的保持性深刻得多. 在现实世界中,有很多数学模型是时变系统,但为了方便研究,往往将其近似为自治系统进行研究,由于时变离散系统是由映射族生成的,其动力学行为比自治系统要复杂得多,例如,有限维的线性自治离散系统不可能是混沌的,但有限维线性时变系统可能在Li-Yorke意义下混沌[70,例2.1和例2.22].因此,对时变离散系统的研究要比自治系统难得多.目前,对时变离散系统混沌的研究比较少[70,79].2009年,史玉明和陈关荣将自治离散系统混沌的概念推广到时变离散系统,并建立了有限维线性时变离散系统在Li-Yorke意义下混沌的判定定理和一般时变离散系统在强Li-Yorke意义下混沌的判定定理[70]. 上面已经说到许多时变离散系统经常被简化为自治离散系统.事实上,一些时变系统可以看做是自治离散系统的时变扰动.另外,时变离散系统也可能受到扰动,而该扰动常常是随时间变化的,即该扰动常常是时变扰动.本文将研究Banach空间中严格4耦合扩张导致混沌时变离散系统的微扰问题,其中A是特殊转移矩阵.并利用得到的相关结论进一步讨论具有正则非退化返回扩张不动点的自治离散混沌系统的时变微扰问题。 本文主要研究了离散动力系统的混沌判定和扰动两个方面的问题,本文由四章组成,主要内容如下： 第一章概述了混沌理论及应用研究的进展,给出了一些预备知识,其中包括几个常用的混沌定义,以及动力系统中的一些基本概念,并回顾了符号动力系统的一些基本概念和性质. 第二章主要讨论Banach空间中的由返回扩张不动点导致的混沌离散系统的微扰问题和结构稳定性问题.首先,如果映射具有正则非退化返回扩张不动点,那么在微扰下受扰映射依然具有正则非退化返回扩张不动点.从而,受扰系统与原系统一样是在Devaney和Li-Yorke意义下混沌.然后,讨论了Banach空间中严格JA-耦合扩张映射的结构稳定性.并利用这一结论证明了Banach空间中具有正则非退化返回扩张不动点映射在其混沌不变集上是C1结构稳定的. 第三章主要讨论Banach空间中时变离散动力系统的混沌问题.首先建立了耦合扩张映射导致的时变系统混沌的混沌判定定理,然后讨论了时变微扰下耦合扩张导致的混沌时变系统的混沌动力学行为的保持性,证明了受扰系统仍然是在强Li-Yorke意义下混沌.利用上面的相关结论证明了具有正则非退化返回扩张不动点的映射在时变微扰下依然是强Li-Yorke意义下混沌.最后给出了一个二维映射的例子及其计算机仿真图. 第四章主要讨周期离散系统的混沌问题.首先我们讨论周期离散系统与其诱导的自治离散系统混沌动力学行为之间的关系.其次建立了耦合扩张导致的周期离散系统混沌的混沌判定定理,再次考虑了周期微扰下耦合扩张导致的混沌周期离散系统混沌动力学行为的保持性,并证明了在周期微扰下,受扰周期离散系统是Devaney和强Li-Yorke意义下混沌.进一步,应用此结论证明了具有正则非退化返回扩张不动点的映射在周期微扰下依然是Devaney和强Li-Yorke意义下混沌.最后给出了两个例子及其计算机仿真图.