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非线性算子方程的解及其应用

桑彦彬  
【摘要】:非线性算子理论是非线性泛函分析的重要组成部分之,这一理论不仅为非线性微分方程和积分方程的研究提供了有力的工具,而且将其纳入到统一的框架之中.从而在数学及应用科学诸如物理、工程、生物化学等领域都有着广泛的应用. 非线性算子方程的解的个数和类型问题一直为人们所关注,本论文首先研究了一类带次线性扰动的混合单调算子的不动点定理,然后证明了两类非线性算子的多重不动点的存在性.其次,讨论了渐近线性算子方程的变号解与多重解. 第一章介绍了本论文将用到的预备知识.第一节,给出了半序和锥的基本概念,第二节介绍了有关时间尺度计算的基本结果,第三节主要介绍了拓扑度和不动点指数的一些定义和相关引理. 在第二章中,我们采用半序方法和单调迭代技巧研究以下算子方程的解的存在唯一性:其中A是混合单调算子,B为次线性算子,并且E是实的半序Banach空间.算子A具有以下凹凸型条件:其中丁:(α,b)→(0,1)是一个满射,ρ(l,x,y)T(t),(?)/∈(a,b).x,y∈P,且P是E中的正规锥.应该指出,我们不要求算子A具有耦合上下解条件与紧性以及连续性条件.作为应用,讨论了一类积分方程的正解的存在唯一性,进而考察了一类时间尺度上的二阶边值问题,不仅获得了其正解的存在唯一性,而且也建立了逼近解的迭代格式. 在第三章中,首先借助于不动点指数理论,研究了在以下平行上下解条件下的非线性算子A的多重不动点.假定E是一个实Banach空间,P,Q都为E中的正规锥,Q(?)P,Q≠{0}.令A:P→P是一个凝聚的增算子,A(P)(?)Q.设以下条件满足: (ⅰ)存在h∈P\{θ}和一个泛函f:Q→R+及f(x)→+∞(║x║→+∞),使得Ax≥f(x)h,(?)x∈Q; (ⅱ)A|Q是e-连续的,且e∈Q\{θ}; (ⅲ)存在λ1,μ1,γ1,λ2,μ2,γ20与正整数m1,n1,m2,n2使得则A在P中至少有六个不动点.进而将所获得的抽象结果应用于超线性Ham-merstein型积分方程,建立了其六个解的存在性结果. 其次,将τ-φ-凹算子和τ-φ-凸算子结合起来,考察了一类非线性非算子的两个正不动点的存在性.设以下条件满足: (a)P是实Banach空间E中的一个正规锥,N是P的正规常数,A:P→P是一个严格集压缩映射,且满足 (b)存在算子Ai:P→P使得 (c)A1是τ1-φ1-凹算子,且(?),对x∈P\{θ}一致成立,其中若存在一个正数c使得A2是T2-ρ2-凸算子,并且则A在P\{θ}中至少有两个不动点x1*,x2*,使得||x1*||1||x2*||.我们的工具基于正规锥的性质和序形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理.作为推论,我们也获得了ρ1-凹算子与ρ2-凸算子之和的不动点定理.最后,将所得到的不动点定理应用于一类二阶微分方程的多点边值问题. 在第四章中,首先,在假定渐近线性算子A存在如下两对上下解 (ⅰ)存在u1∈(-P)\{θ}和u1∈P\{θ}使得u1≤Au1和Au1≤u1; (ⅱ)存在u2∈(-P)\{θ},u2∈P\{θ},与δ()使得u1u2θu2u1,Au2≤u2-δe,u2+δe≤Au2的前提下,研究其多重不动点和变号不动点的存在性.获得了两个正不动点与两个负不动点以及一个变号不动点的存在性结果.进而,若算子A为复合算子,即算子A可以表示成A=KF的形式,这里F:E→E为连续且有界的增算子,K:F→E为正线性全连续算子.若F在θ点处Frechet可微,根据A'θ的性质,上述条件(ⅱ)可通过以下条件来实现: (i:i.)'F(θ)=θ,并且KF'θ有一个特征值λ01,对应的特征函数(?)满足u1e≤(?)≤μ2e,其中u10,μ20.对于一些具体问题,条件(ⅱ)'是易于检验的. 其次,借助于一个已知的拓扑度为1的结论,利用可微映射与渐近线性算子的指数计算定理,获得了非线性算子方程至少存在两个正解与两个负解以及两个变号解的抽象结果.然后,研究了格结构下单边渐近线性算子的变号解和多重解.最后,将所获得的结论应用于非线性Hammerstein型积分方程与一类偏微分方程的边值问题.同时,也考察了一类离散边值问题的多重变号解.本章的工作不仅对相关的具体微分方程的条件进行了抽象,获得了一般性的结果.而且.也对其进行了较大的改进,使其具有了更广泛的意义.


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