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由Levy过程驱动的反射倒向随机微分方程与倒向随机Volterra积分方程

吕文  
【摘要】:非线性的倒向随机微分方程(简记为BSDE)由Pardoux和Peng于1990年首次提出.1992年,著名经济学家Duffie和Epstein也独立的引入了一类特殊类型的倒向随机微分方程用以刻画金融中的递归效用函数.具体来说,经典的非线性BSDE具有如下形式:其中,f(t,y,z)称为BSDE(1.1)的系数,(T,ξ)称为BSDE(1.1)的终端条件.在Pardoux和Peng [75]中,他们证明了在系数f(s,y,z)满足一致Lipschitz条件且终端值ξ和(f(t,0,0))0-t-T平方可积时,BSDE(1.1)存在唯一适应解.20年间,这一开创性的工作不仅在理论方面取得了丰硕的成果,在应用方面特别是在金融数学、随机最优控制、非线性期望以及偏微分方程等学科与领域均得到了广泛的应用(参见El Karoui et al. [33], El Karoui et al. [34], Peng [82]等). El Karoui, Kapoudjian, Pardoux, Peng和Quenez在文献[32]中首次引入了一类具有单反射边界的倒向随机微分方程(简记为RBSDE),在原来方程的基础上增加一个增过程Kt,产生一个向上的作用使得方程的解恰好能保持在一给定的过程(称为边界或障碍)S的上方,且这种作用最小.此时方程表示为这一类型的倒向随机微分方程的引入源自于对美式期权定价和混合博弈问题等领域的研究(参见El Karoui et al. [33], Cvitanic Karatzas [27], Hamadene Lcpclticr [42]等文献).在Ren et al. [90]中,作者研究了一类由Levy过程驱动的倒向重随机微分方程,在系数满足Lipschitz假设下证明了适应解的存在唯一性并对一类随机偏微积分方程的解给出了概率解释. 不论是BSDE还是RBSDE的情形,适应解的存在唯一性都是在系数满足Lips-chitz假设下获得的.然而,在实际应用中很多场合都不能满足这一条件. Nualart Schoutens [68]中,作者建立了与Levy过程相关的鞅表示定理;在此基础上,Nualart Schoutens [69]对一类由Levy过程驱动的BSDE证明了适应解的存在唯一性. Pardoux Pcng [77]在1994年引入了倒向重随机微分方程,对一类拟线性随机偏微分方程的解给出了概率解释Bahalai et al. [8]对一类具有单反射边界的BDSDE证明了解的存在与唯一性定理.然而,上述文献中方程的解均在空间L。或Lp,p2上. 1991年,Hu Peng [47]首先研究了一类Hilbcrt空间中取值的半线性倒向随机发展方程作为这一工作的一个延续,Lin[59]引入了倒向随机Voltcrra积分方程.这之后,Yong [101]将上述倒向随机Volterra积分方程推广到一个较一般的场合.Ren[87]讨论了由布朗运动驱动的带Poisson跳的倒向随机Volterra积分方程M-解的适定性.最近,Wang Shi [96]提出了倒向随机Volterra积分方程的对称解的概念. 本文中,我们将致力于与BSDE相关的若干议题的讨论。首先是讨论了具有随机Lipsehitz系数的反射倒向随机微分方程和Levy过程驱动的反射倒向随机微分方程适应解的存在唯一性;其次证明了反射倒向重随机微分方程的Lp-解的存在与唯-性,p∈(1,2).此外,对由Levy过程驱动的倒向随机Volterra积分方程和倒向重随机Volterra积分方程展开讨论. 以下是本文的结构和主要结论。 第一章:我们研究了具有随机Lipschitz系数的反射倒向随机微分方程,证明了这类方程适应解的存在唯一性;此外,我们还考虑了由Levy过程驱动的反射倒向随机微分方程,同样是在系数满足随机Lipschitz的条件下证明了这类方程适应解的存在唯一性。 引理1.2.2.对给定的(ξ,f,T),假设(Yt,Zt, Kt)0≤t≤T是RBSDE(1.2),则存在仅依赖于参数β的一个常数Cβ使得 定理1.2.5.假设(A1.1)-(A1.5)对充分大的β0成立,则RBSDE (1.2)存在唯一解.对由Levy过程驱动的反射倒向随机微分方程:我们首先给出了其解的一个估计式: 引理1.3.5.令参数β0足够大,假设条件(A1.2.1)-(A21.2.5)均成立.若(Yt,Zt,Kt)0≤t≤T是RBSDEL (1.9)相应于系数f的解,则存在一个依赖于参数β的常数Cβ0使得继而对上述方程的一个简化形式证明了适应解的存在唯一性. 定理1.3.6.假设参数β0足够大,a=a(t)是一个非负的Ft-适应过程.进一步假设g/a∈H2(β,α)并且条件(A1.2.4)-(A1.2.5)成立,则相应于给定的系数g,RBSDEL(1.9)有一个解. 命题1.3.7.在定理1.3.6的假设下,对给定的系数g,RBSDEL (1.9)至多有一个解.进一步地,有 定理1.3.8.假设(A1.2.1)-(A1.2.5)对充分大的β成立,则RBSDEL (1.9)存在唯一解. 第二章:我们将首先给出RBDSDE的解的一个先验估计,继而在系数满足Lips-chitz条件下给出RBDSDE LP-解的存在唯一性结果,p∈(1,2). 引理2.3.1.假设(A2.1)-(A2.3)成立.令(Y,Z,K)是RBDSDE (2.1)的一个解.如果Y∈Sp,则我们有Z∈Mpd,并且存在常数k0使得 引理2.3.2.假设(A2.1)-(A2.3)均成立,(Y,Z,K)是RBDSDE (2.1)的一个解.其中Y∈Sp.则存在一个常数k0使得定理2.3.5.假设(A2.1)-(A2.4)均成立.则RBDSDE (2.1)存在唯一解(Y,Z,K)∈Sp×Mdp×Scip. 第三章:本章中我们研究由Levy过程驱动的倒向随机Volterra积分方程(BSVIEL),在系数满足Lipschitz条件下给出了M-解的存在唯一性.继而给出了BSVIEL与一类由Levy过程驱动的正向随机Volterra积分方程之间的一个对偶律;在此基础上,给出了BSVIEL的M-解的比较定理和稳定性结果;最后给出了BSVIEL的M-解的简单应用. 定理3.4.1.假设(A3.3.1)成立.则对任意的ψ(·)∈LFT2(0,T;R), BSVIEL (3.1)存在唯一的M-解(Y(·), Z(·,·), U(·,·))∈LF2(0, T; R) xL2(0, T; LF2(0, T; Rd))×l2(0,T; L2(0, T;R)).我们有以下形式的对偶律. 定理3.5.1.假设(A3.4.1)成立.设X(t)是如下形式的R-值正向随机Volterra积分方程的解:则下述对偶律成立: 定理3.5.3.设系数f,f-:[0,T]2×R×R×l2→R满足假设(A3.3.1),(A3.4.1)以及(A3.4.2),令τ(·),τ-(·)∈LFT/2(0,T;R)使得并且记(Y(·),Z(·,·),U(·,·))相应地.(Y-(·),Z-(·,·),U-(·,·)))为BSVIEL (3.38)对应于参数组(f,(?))(相应地.(f-(?)-))的适应的M-解,则 第四章:我们研究了由Levy过程驱动的倒向重随机Volterra积分方程(简记为BDSVIEL)首先对BDSVIEL (4.17)的一个简化情形给出了适应解的存在唯一性。在此基础上,我们证明了一般形式的BDSVIEL S-解的存在唯一性。 引理4.4.3.假设(A4.1)成立.则对任意的(t,s)∈Δ[S,T],(?)(·)∈LFT2[S,T],BDSVIEL (4.17)存在唯一的S-解(Y(·),Z(·,·))∈*H2[S,T]. 引理4.4.4.假设(A4.1)成立.则对任意的t∈[R,S],(?)(·)∈LFT2[R,S],BDSVIEL(4.19)存在唯一解((?)s(·),Z(·,·):U(·,·))∈LFS2[R,S]×L2(R,S;LF2[S,T])×l2(R,S;LF2(R,S)). 定理4.4.5.假设(A4.1)成立.则对任意的(t,s)∈Δ[S,T],(?)(·)∈LFT2[S,T],方程(4.1)有唯一的S-解(Y(·),Z(·,·))∈*H2[S,T].


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