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亚纯函数与其导数分担小函数及正规族问题的研究

戚建明  
【摘要】:在二十世纪二十年代初,R. Nevanlinna引进了亚纯函数特征函数的概念并且建立了著名的Nevanlinna理论,被公认为二十世纪最伟大的数学成就之一.这个理论包括了两个基本定理,我们把它们称之为Nevanlinna第一基本定理和Nevan-linna第二基本定理,这两个定理显著的提高了经典函数论的研究,并且在随后极大的推广和扩展了Picard定理,由此为现代亚纯函数理论研究做出了奠基性的工作,并且对其他数学分支的交叉和融合产生了重要的影响.同时Nevanlinna理论在数学很多领域里有着广泛的应用,如位势理论,复差分方程,正规族,多变量等等. 1907年,P. Montel引入正规族理论的基本概念.由于在复解析动力系统中的重要地位,它越来越受重视.令∮为区域D上的一族亚纯函数,如果从∮中任一函数序列{fn(z)}均可选出一个子序列{fnk(z)}在区域D上按照球面度量在D上一致收敛于一亚纯函数或者∞,则称∮在区域D内正规(见[44],[53]).我们的主要目标是寻找正规的函数族.Bloch原理在其中起着重要的指导作用,尽管它一般而言并不成立.它说如果有某个性质使得在全平面上只有常数函数所具有,那么在某一个区域D上具有该性质的亚纯函数(或全纯函数)族就是一个正规族.中国的学者们,如杨乐教授,张广厚教授,顾永兴教授,陈怀惠教授,庞学诚教授,方明亮教授,常建明教授等对正规族理论的推动和发展做出了许多卓越性的贡献.近些年来,对于亚纯函数的正规族理论研究变得非常活跃,特别是运用Zalcman-Pang方法并且结合分担值的思想,很多杰出的成果为数学家们所获得. 1929年,R. Nevanlinna运用值分布理论考虑亚纯函数的唯一性得到了著名的Nevanlinna五值定理和四值定理.从那开始,很多国内外数学家如F. Gross, M. Ozawa, G. Frank, E. Mues, N. Steinmetz, H. Ueda, G. Gundersen,熊庆来,杨乐等在亚纯函数唯一性理论方面取得了很多杰出的成果.在过去的二十年内,仪洪勋教授致力于亚纯函数唯一性理论的研究并做出了许多创造性的成果,极大的推动了唯一性理论的发展. 本文主要包括作者在导师的指导下得到的一些新结果,论文的结构安排如下: 第一章,我们简单介绍了Nevanlinna理论和正规族理论的发展. 第二章,我们研究了亚纯函数与其导数分担小函数的问题.通过估计著名的Zalcman-Pang引理中的pn趋于0速度和运用正规族理论,我们得到了这一类函数的级是有穷的,这是非常重要的.进而我们得到了几个唯一性的定理,它们改进了L.A.Rubel和C.C.Yang(见[42]),J.T.Li和H.X.Yi(见[24])的结果同时,我们给出了几个例子,证明了我们结论中的一些条件是必要的.实际上,我们(见[38])证明了如下结果: 定理0.1.设Q1(z)=a1zp+a1,p-1zp-1+…+a1,0和Q2(z)=a2zp+ a2,p-1zp-1+…+a2,0为两个多项式并且deg Q1(z)=deg Q2(z):p(这里p是一非负整数)且a1,a2(a2≠0)是两个不同的有限复数.设f(z)为一超越整函数,如果f(z)=Q1(z)(?)f'(z)=Q1(z)且f'(z)=Q2(?)f(z)=Qz(z),则f(z)(?)f'(z). 定理0.2.设Q1(z)=a1zp+a1,p-zp-1+…+a1,0和Q2(z)=a2zp+ a2,p-1zp-1+…+a2,0为两个多项式且deg Q1(z)=deg Q2(z)=p(这里p是一非负整数)且a1,a2(a2≠0)是两个不同的有限复数.设f(z)为一超越整函数.如果f(z)=Q1(z)(?)f'(z)=Q1(z)且f'(z)=Qz(z)(?)f(z)=Q2(z),则f(z)是有穷级. 我们同样研究亚纯函数及其导数分担有理函数唯一性并且获得了一些结果,这些结果(见[27])改进了J.T.Li,H.X.Yi(见[24])和J.M.Qi,F.Lu,A.Chen(见[38])的结果.我们得到: 定理0.3.设f为一有有穷多个极点的超越亚纯函数,并且设R1和R2为两个不同的有理函数且当|z|→∞时,有这里M是一正数.如果 (1)f和R1无公共极点, (2)f(z)=R1(z)(?)f'(z)=R1(z)且 (3)f'(z)=R.(z)(?)f(z)=R2(z),则f(z)三f'(z). 定理0.4.设f为一有有穷多个极点的超越亚纯函数,并且设R1和R2为两个不同的有理函数且当|z|→∞时,有这里M是一正数.如果 (1)f(z)=R1(z)(?)f'(z)=R1(z)且 (2)f'(z)=R2(z)(?)f(z)=R2(z),则f是一有穷级亚纯函数. 在第3章中,我们研究了涉及重零点亚纯函数分担值的正规族问题.我们的结果改进了Y.F.Wang,M.L.Fang(见[48]),M.L.Fang,L.Zaclman(见[10])等人已有的结果.实际上,我们(见[39])证明了如下结果:定理0.5.设k(k≥2)为一正整数并且b为一非零有限复数.设∮为区域D上的一族亚纯函数,如果对每个f∈∮,f(z)的所有零点重数至少是k+2,如果对每对f,g∈(?),f(k)(z)和g(k)(z)所有零点是重的,且f(k)(z)和g(k)(z)分担b在D上,则∮在区域D上正规. 定理0.6.设∮作为区域D上的一族亚纯函数且其中所有函数的零点是重的,设n(n≥2)为一正整数并且a,b为两个非零有限复数.如果对于每对函数f和g属于(?).f+a(f')n并且g+a(g')n分担b在D上,则∮在区域D上正规. 在第四章中,我们研究了Goldberg定理关于一类代数微分方程,或方程组中亚纯解的增长级的相关结果.这些工作改进了W.J.Yuan,B.Xian,J.J.Zhang(见[55])和R.M.Fu,J.J.Ding,W.J.Yuan(见[14])等人的结果. 定理0.7.ω(z)为复平面上的一亚纯函数并且ω所有零点重数至少是k(k∈N),P[w]为一多项式且有形式(4.1.2)(见第四章)且nkpdeg P[w](n∈N).如果ω(z)满足微分方程[Q(w(k)(z))]n=P[w],则w(z)的增长级λ:=λ(w)满足这里Q(z)是一多项式并且次数为q. 定理0.8.设w=(w1,w2)为一形式为(4.1.3)(见第四章)的一类代数微分方程组,如果m1m2qku,并且ω2所有零点重数至少是k(k∈N),则ωi(z)(i=1,2)的增长级λ(ωi)(i=1,2)满足这里a=deg(a(2))m2,b=maxj∈1 max{deg bj(z,w2),0}. 在最后的第五章中,我们(见[40])研究了某类特殊微分方程,并且得到了一些新结果.这些结果改进了P.Li(见[31])的一些结果. 定理0.9.设n≥2为一整数.设f为一超越整函数,P(f)为f一微分多项式且次数为≤n-1.如果fn(z)+P(f)=P1eQ1(z)+P2eQ2(z) (0.1)这里只(i=1,2)为ez非退化的小函数,Q1(z)=αkzk+αk-1zk-1+…+α1z+α0, Q2(z)=βkzk+βk-1zk-1+…+β1z+β0,为两个多项式且满足(n-1)βk≥nαk0 (αk-1,…α0,βk-1,…β0是有限个常数)且k≥1是一正整数,则存在一关于f的小函数γ满足 定理0.10.设n≥2为一整数且P1,P2为ez的两个小函数.如果存在一超越整函数f满足微分方程(0.1),这里P(f)是f的一微分多项式并且次数不超过n-2且αk0βk,则αk+βk=0,且存在常数c1,c2和f相关的小函数β1,β2满足且βin=Pi,i=1,2. 定理0.11.设n≥2为一整数且Pl,P2为ez的两个小函数.如果αk/βk是一非有理数,则微分方程(0.1)无整函数解,这里P(f)是关于f的一微分多项式并且次数为≤n-1且(n-1)βk≥nαk0.


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