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关于分担值的亚纯函数正规族和唯一性问题的研究

孟大伟  
【摘要】:正规族理论是复分析理论中的一个重要分支,其研究既具有重要的理论意义,也具有重要的应用价值.例如与值分布理论的紧密结合,又例如正规定则在复动力系统中的应用:近年来比较活跃的复动力系统研究中的基本概念Julia集和Fatou集等,就是由正规性引出的.自20世纪初叶P. Montcl引入正规性的概念以来,正规族理论已有了长足的发展,特别是我在国,熊庆来、庄祈泰、杨乐、顾永兴以及方明亮和庞学诚等人都作出了优秀的工作,从而使我国在正规族理论研究方面处于国际前沿地位.关于正规族理论的基本概念和重要结果,以及研究正规族理论所需要的一些预备知识如Nevanlinna值分布论等,我们将在第一章中予以详细介绍. 正规族理论发展中一个关键的阶段,是20世纪五十年代到八十年代,其间学者们以W. K.Hayman提出的几个猜想为主线,获得了一系列新的正规定则.本文的主要问题,正是追溯自该阶段Hayamn [17]提出的一个值分布论方面的猜想:如果F是一个超越亚纯函数,则对于任意的正整数n,FnF'取每个非零有穷值均是无数次.围绕这一猜想,Hayman[17],E. Mucs [35], J.Clunic [8]以及W.Bergweiler和A.Eremenko [3],陈怀惠和方明亮[4]等人相继做出了优秀的工作,并最终将猜想完全解决. 根据Bloch原理[2],对应上述值分布论方面的问题,Hayman [19]又提出了一个关于Picard型正规定则的猜想:令F是定义在区域D(?)C上的函数族,n是一个正整数.如果任一函数f∈F,均满足fnf'≠α,则F必在区域D上正规.当n≥5的时候,这一猜想被杨乐和张广厚[59]证实;而顾永兴[14]和Oshkin [36]则分别论证了当n=3,4,以及当n=1且g为全纯函数族时的情况(也可参见[28]);此后,庞学诚[38]又证明了当n≥2时猜想成立.最后,当n=1时的情况,在1995年,也被Bcrgwcilcr和Ercmcnko [3],陈怀惠,方明亮以及Zalcman等人完全解决了(可参阅[4],[64], [65]). 近年来,张庆彩[67]又从分担值的思想出发研究上述问题,论证得到一个正规定则:如果亚纯函数族g中的任意两个函数(f,g)均满足fnff和gng'(其中正整数n≥2)以IM分担一个非零有穷复数a,则g必是区域D上的正规族.综合以上Hayman的两个猜想和张庆彩的结果,不难看出一条从值分布论到Picard型正规定则再到分担值型正规定则的清晰线路,启发我们综合运用值分布论和正规族理论去讨论问题.更进一步地,对于高阶导数形式FnF(k)的值分布和正规性方面的性质,张庆彩和戚建明等人已经做过详细的研讨,详情可参考文献[68]和[43]. 为了更好得把握FnF(k)这一形式各类问题的研究,不少学者也讨论了其相关形式F(F(k))n在值分布论和正规族理论方面的情况.1993年,杨重骏,杨乐,王跃飞[55]在科学通报上发表文章,论述了如下结果:当n≥2时,对于任一个超越整函数F,F(F(k))“唯一的皮卡例外值都只可能是0.张宗方和宋国栋等[69]进一步讨论,在1998年论证得到:对于超越亚纯函数F,当n≥2且α(?){0,∞)时,必有F(F(k))“-α存在无穷多个零点.后来,在2004年,A. Alotaibi[1]又得到了上述结果的一个简化证明方法,同时也有所改进,即把原来的常数a推广到了小函数a(z)的情况. 在本文第二章中,受到Bloch原理的启发,并基于上述杨重骏、杨乐、王跃飞、张宗方和宋国栋,以及Alotaibi等在值分布方面的结果,我们讨论F(F(k))n这一形式函数的零点分布和正规性问题,主要得到了一个分担值型的新正规定则: (1)令n,k是两个正整数,其中n,k≥2,又令a是一个非零有穷复数.业纯函数族g定义在区域D(?)C上,且任一函数f∈g,其所有零点的重数都小低于k.如果函数族g中任意两个函数(f,g)均满足f(f(k)n和g(g(k))n以IM分担α,则必有g在区域D上是正规的. 为了说明这个正规定则的严谨,我们还给出了几个反例.例如,令D={z∈C||z|1],则函数族的例子说明定则中零点重数至少是k的条件是严格的,因为若放低到k—1结论就不再成立了.而则说明当k=1时定则不再成立,故k≥2的条件是必不可少的. 同时,作为以上结果的推论,还得到了两个新的正规定则: (2)先取定正整数n和k,其中n≥2,再取定一个非零有穷的复数a.令g是一个定义在区域D上的亚纯函数族,且族中任意函数f所有零点的重数都不低于k.对于任意的f∈g,若由f(z)(f(k)(z))“=a必可导出|f(k)(z)|≤A,其中A是一个正数,则g在区域D上必是正规的. (3)取定正整数n和k,其中n≥2,然后再取定一个非零有穷的复数a.令g是一个定义在区域D上的亚纯函数族,且任意函数f∈g其所有零点的重数都不低于k.若函数族g中任一函数f,对于所有的点z∈D,均满足f(z)(f(k)(z))n≠a,则g在区域D上是正规族. 我们注意到,上述的各个定理中,均要求n≥2,所以自然想到一个问题:当n=1,即化为形式FF(k)时,定理的结论是否依然成立?关于这一形式的值分布问题,杨乐和杨重骏[58]提出了一个猜想:F是一个超越亚纯函数,k是任意正整数,则FF(k)取每个非零有穷复数均是无穷多次.1996年,杨重骏和扈培础教授得到了一个阶段性的成果,部分解决了该猜想提出的问题,详情可见文献[54].后来在2006年,王建平[49]基本上解决了该问题,他论证了:当k≥2时,如果F的所有零点的重数都不低于k十1,则猜想的结论成立.由Bloch原理,很自然想到,上述关于FF(k)形式值分布的结论,是否有对应的正规定则存在?实际上,方明亮在09年上海复分析会议上就提出了一个Picard型正规定则的猜想:a是一个非零有穷复数而g是一个定义在区域D(?)C上的业纯函数族.如果g中的任意函数f在区域D上都满足ff(k)≠a,则g在D内是正规的. 在本文第三章中,我们重点讨论分担一个值的业纯或全纯函数正规性问题,主要是考察FF(k)这一形式函数的正规性,得到了两个与分担值有关的正规定则. 先是亚纯函数的情况,要求零点重数不低于k+1: (4)取定一个正整数k和一个非零有穷复数α.令g是一个定义在区域D(?)C上的亚纯函数族,且任一函数f∈g其所有零点的重数均不低于k+1.对于函数族g中任意两个函数(f,g),若ff(k)和gg(k)分担αIM,则g是区域D上的正规族. 再者对于全纯函数族的情况,零点重数可以放低到k: (5)取定一个正整数k≥2和一个非零有穷复数a.令g是一个定义在区域D上的全纯函数族,且任一函数f∈g其所有零点的重数均不低于k.对于任意两个函数(f,g)∈g,若都有f f(k)和gg(k)分担a IM,则g在区域D上正规. 显然,附加上零点重数不低于k+1的条件,第三章这些关于亚纯函数的正规定则,不但解决了第二章中遗留尚未解决的当n=1时的情况(也可参见[21]),同时还在一定程度上解决了方明亮的猜想所蕴含的问题. 最后,在本文第四章中,我们讨论了分担三个值0,1,∞的微分多项式的唯一性问题,主要推广了I.Lahiri [23],张庆彩[66]等人的结果,得到如下定理: (6)令f,g是两个非常值的亚纯函数,而微分多项式ψn(f),ψn(g)也非常值函数.如果ψn(f)和ψn(g)分担0 IM,∞IM,以及1 CM,并且还满足:则以下两种情况必居其一:要么(a)ψn(f)ψn(g)≡1,要么(b)f-g=q,其中q=q(z)是微分方程ψn(q)=0的一个解函数.而且,如果f有至少一个极点或者ψn(f)有至少一个零点存在,则第一种情况(a)就不可能出现,可予以排除了.


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