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两类L-函数的Riesz均值估计

王海燕  
【摘要】:L-函数是一种生成函数,它们或者来源于算术、几何对象(比如定义在一个数域上的椭圆曲线),或者来源于自守形式.根据Langlands纲领,任何一个一般的L-函数都可以分解为GLm/Q上的自守表示的L-函数的乘积,并且对于任何自守表示的L-函数,Ramanuj an-Petcrsson猜想都成立.因此对于L-函数的研究具有非常重要的理论意义. 在本文中,我们将考虑两类L-函数,即spinor zcta函数和二次对称幂L-函数.我们将研究它们的系数的Ricsz均值估计.在介绍本文的结果之前,我们先给出Ricsz均值的定义. 设{cn}是复数列,定义Dirichlct级数函数z(s)称为{cn}的生成函数.{cn}的Riesz均值定义为其中p≥0.这里∑'表示如果p=0,且当x是一个整数时求和公式中的最后一项是cx/2,而不是cx. Ivie,Matsumoto和Tanigawa在文献[16]中研究了如下定义的Rankin-Sclbcrg级数(参见文献[34,37])其中ζ(s)是Ricmann zeta函数,α(n)是SL2(Z)上全纯尖形式f的Fourier系数.易知由Delignc的上界(参见文献[6]),我们有|a(n)|≤n(к-1)/2τ(n).这里τ(n)是除数函数.因此我们有 在文献[16]中,作者将Ricsz均值(0.0.1)表示成一个由留数产生的主项和余项之和的形式,即其中π2кR0/6是函数Z(s)在简单极点s=1处的留数.随后,他们给出余项△,(x;f)(0≤p≤1)的Voronoi求和公式,以及△p(x;f)在p=1时的二次均值公式.后来,Ivic在文献[18]中研究了△1(x;f)的四次均值,并得到了这个均值的一个上界估计.在文献[40]中,作者进行了更深入的研究,改进了Ivic的结果,并给出了高次均值估计的渐近公式.借鉴文献[16,18,40]中的思想和方法,在本文中我们将研究spinor zeta函数和二次对称幂L-函数的Riesz均值,并得到高次均值估计. 在本文的第一章中,我们将介绍spinor zeta函数.设rg是亏格为g的Sicgcl模群.定义Sк(r9)是由Г9上权为к亏格为g的Siegcl模形式全体构成的空间.对于F∈Sк(rg),我们假设F是所有Heckc算子的特征函数,即我们定义其中α1,p,…,αg,p为Satakc p-参数.对SRs》0,定义称ZF(s)为spinor zcta函数.本文考虑g=2的情形.为了使ZF(s)有好的解析性质,我们总假设F满足下面的条件之一 1.权к是奇数; 2.权к是偶数,F∈S*(Г2)⊥, 这里S*к(Г2)为(Г2)的Maass子空间,我们将在引理1.2中给出定义.根据引理1.3在上述假设下,我们知道ZF(s)是整函数,且在s=к—2,к—3,…处为零.由Wcissaucr定理(参见文献[43]中第一章)可知(0.0.2)中的Satakc p-参数的模是1.因此我们有进而可以推得当SRsк一1/2时,spinor zcta函数ZF(s)是绝对收敛的.这时我们可以得到下面的Voronoi求和公式. 定理1.假设F的亏格g=2,且当к是偶数时F是S*к(Г2)⊥中的Siegel模形式.取定p∈(1/2,1]以及自然数N》1.则对于任意的x1,我们有其中ε是任意小的正数. 在下面的定理2中,我们给出了Dp(x;F)的二次均值的渐近公式. 定理2.在定理1的假设下,我们有其中 在第三章中,我们还将进一步研究Dp(x;F)的高次均值,并得到如下结论. 定理3.在定理1的假设下,如果存在一个实数A03使得则对满足3≤hA0的任意整数,我们有下面的渐近公式其中Bp(h;f)与δp(h,A0)分别由(1.3.3)和(1.3.4)式给出定义. 定理4.当p=1时,(0.0.3)对A0=16/3成立.因而当h=3,4,5时,有渐近公式其中λ。(h,A0)由(1.3.5)式定义. 用证明定理4的方法,当1/2p1时,我们未能给出(0.0.3)中的A0的值. 本文考虑的另一类函数是二次对称幂L-函数.令f(z)是完全模群SL2(z)上的权为偶数к的全纯尖形式.在文献[10,11]中,Fomenko考虑了二次对称幂L-函数的Riesz均值问题.其中二次对称幂L-函数定义为记系数λsym2f(n)=cn,则有对任意的∈0成立,这里τ3(n)是将数n表示为3个自然数乘积的表法个数. 定义余项△p(x;sym2f)Fomenko给出了余项△p(x;sym2f)的Voronoi求和公式,以及二次均值的渐近公式. 在本文第四章中,我们将进一步给出△p(x;sym2f)的高次均值的渐近公式. 定理5.如果存在实数E0:=E0(p)3,使得成立.则对任意的整数3≤kE0,我们有下面的渐近公式这里的Cp(k,c),δ*/p(k,E0)由(1.3.9)和(1.3.11)分别给出,且(O-项依赖于p,k和ε.特别地,当p=1/2时,我们能够证明下面无依赖条件的一个结果. 定理6.当p=1/2时,(0.0.4)对E0=6成立.因而当k=3,4,5时,有渐近公式这里的λp/*(k,E0)由(1.3.12)式定义. 用证明定理6的方法,当0≤p1/2时我们未能给出满足(0.0.4)的E0的值. 在定理1的证明中,我们主要应用复分析的方法,并利用了zF(s)在带形区域中的凸性上界.定理2的证明需将定理1中的D。(x;F)平方,然后逐项进行积分估计.在定理3的证明中,我们将Dp(x;F)的求和项中满足n≤y,yTε的部分和记为R1,剩余部分记为R2.可以证明R2的高次均值很小,因而fT/1Dh/p(x;F)dx可以用fT/1Rh/1dx很好地近似估计,这样得到定理3的结论.在定理4的证明过程中我们用到了大值定理,Kuzmin-Landau不等式和指数对等工具.定理5与定理6的证明过程与定理3和定理4的证明类似.


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