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Sobolev方程的两类变网格混合元方法

郑瑞瑞  
【摘要】:Sobolev方程可描述许多数学物理问题,例如:流体穿过裂缝岩石的渗透理论;土壤中湿气的迁移问题;不同介质的热传导问题等.因此对Sobolev方程的研究具有很大的实际意义.本文采用变网格混合元方法研究Sobolev方程.变网格混合元方法的基本思路是对空间区域采用混合有限元方法,而对于时间轴采用差分方法处理,对不同的时间区域采用不同的有限元网格.本文共分为两章: 第一章主要介绍了Sobolev方程的变网格迎风混合元方法. 混合元方法将▽u直接作为未知量处理,把问题转化成未知变量u和其通量函数σ=▽u的一阶混合方程组,然后用变网格迎风有限元方法进行离散.在这个方法中,未知变量u和其通量函数σ=▽u的逼近空间为Wh×Vh,对于Sobolev方程中的扩散项采用扩展的混合元方法近似,对流项c·Vu则通过迎风方法处理,在变网格基础上提出迎风混合格式. 本章研究了Sobolev方程的变网格迎风混合元方法,按照上述的基本思路,构造变网格迎风混合格式,并进行了误差分析,得到了最优的L2模误差估计.Sobolev方程含有时间和空间的混合偏导数项▽.[a▽u],从而增加了研究的难度,也是本文研究的意义所在. 本章分为四节:第一节是引言,简单介绍了变网格迎风混合元方法;第二节和第三节分别针对线性和非线性Sobolev方程的问题模型,构造变网格迎风混合格式;第四节通过线性和非线性数值实验验证变网格迎风混合元方法的有效性. 第二章介绍了Sobolev方程的变网格Godunov混合元方法. Godunov混合元方法将混合元方法和Godunov方法相结合,先将问题转化为一阶混合方程组,然后引入Godunov流量函数,在网格变动的情况下进行离散.其中,未知变量u和其通量函数σ=▽u的逼近空间Wh×Vh代表最低阶Raviart-Thomas空间.该方法给出了梯度和扩散项的逼近.在处理过程中,扩散项仍采用扩展的混合元方法进行近似,对于对流项的处理则改用Godunov流量函数计算,构造了变网格Godunov混合元格式. 本章利用变网格Godunov混合元方法研究Sobolev方程,构造了Godunov混合元格式,发挥两种方法的优势,不仅可以同时对未知纯量以及流量进行高精度的估计,而且克服了数值计算中产生的数值振荡,得到比较好的近似结果. 本章也分为四节:第一节是引言,简单介绍Godunov混合元方法;第二节和第三节分别研究线性和非线性Sobolev方程问题模型,构造了Godunov混合格式,并进行了误差估计;第四节同样是通过线性和非线性的两个数值实验进一步验证变网格Godunov混合元方法.


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