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关于同余子群(?)(p)的素测地线定理

林永晓  
【摘要】:曲面r\H上的素测地线的计数问题是数论中一个很重要的问题.令πΓ(x)表示范数不超过x的本原共轭类的个数,则素测地线定理可表述为这里E(x)为余项.在很多情形下,考虑Ψr(x)=∑∧(P)将更为方便,这里求和号取遍所有双曲共轭类{P}.对索测地线定理寻求好的余项估计是很多作者研究的目标.猜测的余项为E(x)=O(x1/2+ε). 对于r=SL(2,Z)为全模群的情形,很多作者研究了素测地线定理的余项.上世纪50年代,A. Selberg [18]引进了Selberg zeta函数Z(s).Z(s)的性质与代数数域上的L函数的性质有许多相似之处.特别地,对Z(s),黎曼猜想是成立的,于是人们可以预期E(x)《x1/2+ε.但注意到Z(s)的阶为2,它比(?)(s)多了很多零点,因此上述估计又并非那么显然.作为Sclbcrg迹公式的一个推论,不难得到一个形如O(x3/4+ε)的余项. Iwaniec [6]首先突破了3/4的界限.他证明了E(x)《x35/48+ε.他的证明用到了Sclberg迹公式,Kuznetsov迹公式,Burgess对特征和的估计以及Maass波动形式傅里叶系数的均值估计等工具. Luo和Sarnak [14]研究了关于特征位求和的振荡现象,他们得到了作为推论,他们给出了余项O(x7/(10)+ε).Cai[2]通过改进Iwaniec的处理方法,将Luo和Sarnak的结果进一步改进至O(x(71)/(102)+ε).结合类数公式和Dirichlet L-函数的相关知识,Soundararajan和Young [20]证明了 当r为同余子群情形,已知的结果却要少很多Sarnak [15]曾经给出形如O(x3/4+ε)的余项.1994年,Luo, Rudnick和Sarnak [13]在Sclborg特征值猜想方面取得了重大进展.利用他们的结果,可以推出对所有SL(2,Z)的同余子群成立. 尽管如此,在已发表的文献中关于同余子群情形的结果并不多.在文章Bykovskii [1]和Soundararaj an-Young [20]的启发下,本文讨论了关于同余子群r(p)的素测地线定理,这里p≥3为素数.我们得到了一个渐进公式,作为推论,我们给出了余项O(x3/4+ε).当“p=1”时便得到Soundararajan和Young的结果.本文主要结果如下: 定理0.1设k(u)为满足∫-∞+∞k(u)du=1及∫-∞+∞|k(j)(u)ldu《jY-j,紧支集在(0,Y)的无穷次可微函数,x1/2+ε≤Y≤x/(logx)为一参数,则对r=r(p),我们有及这里 这里尽管p为素数,我们可从证明过程看出定理0.1对p=1是成立的,于是这里用到了Luo-Sarnak的估计E(x,k)《x7/8+εY-1/4.此即为Soundararajan和Young关于模群时的结果.因此从这种意义上讲,我们的定理推广了Soundararajan(?)(?)Young的结果. 在定理0.1中取Y=x3/4,可以得到如下结果:推论0.1对Γ-Γ(p),我们有


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