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亚式期权定价的数值方法

马健  
【摘要】:在当今金融衍生品市场上,交易的期权有标准期权和奇异期权等多种类型,亚式期权是奇异期权中交易最为活跃的种类之一。它与标准期权的区别就在于,在到期日T确定期权收益时,不是采用标的资产在T时刻的市场价格,而是采用期权有效期内某段时间的标的资产价格的平均值。标准期权在到期日的价值与路径无关,只依赖于到期日的标的资产价格,因而难免有人操纵到期日的价格来从中套利。而亚式期权在到期口的价值与路径相关,它是强路径依赖期权,因此使用它可以缓解投机行为。另外,亚式期权可以用来对冲在某一特定时期内的风险,而且其价格更便宜。鉴于其以上的优点,亚式期权在市场上发展很快。随着亚式期权交易的日益活跃,研究亚式期权的定价方法显得尤为重要。 亚式期权有几何平均亚式期权和算术平均亚式期权两种,对几何平均亚式期权的定价模型,可以通过多种方法得到它的显示解析解,但算术平均亚式期权的定价模型却不存在这种显示解析解。然而,在实际应用中常见的是算术平均业式期权,因此,吸引了许多金融学家和数学家去研究利用数值方法寻求算术平均业式期权定价模型的近似解。前期有人提出用三叉树方法、二阶矩近似、Monte Carlo模拟法等来求解近似解,随着Black-Scholes模型和偏微分方程各种离散数值方法的研究,有限差分法和有限体积法等方法也被普遍用于算术平均业式期权的定价。 在研究过程中,多数人都是基于不计红利的亚式期权模型进行数值求解的,由此得出的Black-Scholes模型经过变换可化简为一维线性对流扩散方程,然而在实际应用中一般要考虑红利。本文就将红利考虑在内,其中红利率为q,在此条件下推导出的算术平均亚式期权的定价模型经变换可化简为如下一维非线性变系数对流扩散方程: 利用迎风差分格式来求解上述非线性对流扩散方程,得到如下格式:其中εjn表示截断误差 考虑到对流扩散方程存在特征方向的重要特性,利用特征差分方法求解具体的亚式期权定价模型,得到如下格式: 由解的稳定性和格式的误差估计分析可知,特征差分法可得到很好的数值近似解。 由于定价模型是由实际问题推导出的,所以边界条件有一定的实际意义,形式比较复杂,再加上非线性项的存在,因此在格式和误差项的表示上都更加复杂,在后面的稳定性和误差分析上也增加了一定的难度。 本文第一章简要介绍业式期权定价模型的发展背景;第二章利用对冲原理推导出不同种类亚式期权的定价模型,以具固定敲定价欧式几何平均亚式期权为例,推导出其显示解析解的格式;第三章以具浮动敲定价的算术平均亚式期权为例,用迎风差分格式求解其数值近似解,并分析此格式的稳定性和收敛性,最后给出算例;第四章用特征差分法求解业式期权定价模型,并对此格式进行稳定性分析和误差估计。


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