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关于正规族及差分多项式值分布问题的研究

丁杰  
【摘要】:上世纪二十年代,芬兰数学家R.Nevanlinna以亚纯函数为研究对象,引入了特征函数的概念并且建立了著名的Nevanlinna理论,它被认为二十世纪最伟大的数学成就之一。Nevanlinna理论包括两个基本定理,即Nevanlinna第一基本定理和Nevanlinna第二基本定理,并且后者显著地推广Picard小定理。Nevanlinna理论不仅是经典函数论发展史上的一个里程碑,而且还标志着现代亚纯函数理论的开端。现在,Nevanlinna理论广泛地应用于亚纯函数唯一性、正规族、复微分方程、复动力系统等领域的研究中。 最近在文章[11]和[18]中,作者分别独立估计了均值函数m(r,f(z+c)/f(z)),其中函数f(z)为有穷级亚纯函数。这个结果可以看做是离散情形下的对数导数引理的对应形式。在此基础上,许多学者研究了涉及差分形式的值分布问题。 正规族理论是复分析理论中的一个重要分支。正规族的概念是由P.Montel于1907年给出,它不仅与值分布理论结合紧密,也在近年来比较活跃的复动力系统研究中有重要应用。正规族研究的主要目标是寻找正规定则,Bloch原理在其中起着重要的指导作用,尽管它一般而言并不成立。中国的学者们,如:杨乐,张广厚,顾永兴,陈怀惠,庞学诚等对正规族理论的推动和发展做出了许多卓越性的贡献。近些年来,特别是将Pang-Zalcman引理以及分担值的思想引入正规族研究之后,亚纯函数的正规族理论研究变得非常活跃,很多杰出的成果为数学家们所获得。 本文中,我们得到了关于亚纯函数差分多项式值分布问题的一些结果,并且研究了涉及分担微分多项式和全纯函数的正规族问题。论文的结构安排如下: 在第一章中,我们简单介绍了Nevanlinna理论、涉及差分形式的Nevanlinna理论和亚纯函数正规族理论。 在第二章中,我们利用经典的唯一性中零点和极点分析的方法,研究了亚纯函数差分多项式的值分布问题。之前涉及差分形式的值分布问题基本是在整函数范围内讨论,我们考虑了亚纯函数时的情形并得到下列结果: 定理0.1.假设f是一个有穷级亚纯函数,s(z)为f(z)的小函数。令P(z)是一个多项式,m是集合{z:P(z)=0}的势且满足deg(P(z))-m3,则P(f(z))+f(z+c)-s(z)至少有一个零点。若f是超越亚纯函数,则P(f(z))+f(z+e)-s(z)有无穷多个零点。 定理0.2.假设f是一个有穷级超越亚纯函数,不以c≠0为周期,s(z)是f(z)的小函数。令P(z),m如定理0.1中所述。若deg(P(z))-m4,则P(f(z))+f(z+c)-f(z)-s(z)有无穷多个零点。 我们同样研究了亚纯函数涉及q差分形式的值分布问题,得到: 定理0.3.假设f是一个零级的亚纯函数,q∈C\{0},s(z)是函数f的小函数。多项式P(:)如定理0.1中的定义。则P(f(z))+f(qz)-s(z)至少有一个零点。若f是一个超越亚纯函数,则P(f(z))+f(qz)-s(z)有无穷多零点。 在第三章中,我们研究了涉及分担微分多项式的亚纯函数正规族问题,并改进了雷春林和方明亮(见[32])的结果。实际上,我们证明了如下结果: 定理0.4.假设k是一个正整数,F是区域D内的亚纯函数族且满足所有函数的零点重数不小于k,令P=apzp+…+a2z2+z是一多项式且ap,a2≠0;p=deg(P)≥k+2.若对任意的f,g∈F都有P(f)G(f)和P(g)G(g)在D内IM分担非零常数b,其中G(f)=f(k)+H(f)是满足条件ω/(deg)|H≤k/(l+1)+1或者w(H)-deg(H)k的微分多项式。则F在D内正规。 定理0.5.假设是是一个正整数,F是区域D内的亚纯函数族且满足所有函数的零点与极点的重数分别大于等于k和2,令P(z)是一至少具有两个不同零点的多项式。若对任意的f,g∈F都有P(f)G(f)和P(g)G(g)在D内IM分担常数b,其中G(f)=f(k)+H(f)是满足条件w,(H)-deg(H)k的微分多项式。则F在D内正规。 在第四章中,我们研究涉及分担全纯函数的亚纯函数正规族问题,这些工作改进了方明亮、常建明(见[13])和夏吉英、徐焱(见[57])等的结果。 定理0.6.假设F是区域D内的亚纯函数族,ψ(≠0),a0,a1…,ak-1是全纯函数,且k是正整数。若对于任意的函数f∈F在区域D上都满是f≠0,P(f)=f(k)+ak-1f(k-1)+...+a1f'+a0f≠0以及对任意的函数f,g∈F有P(f)和P(g)IM分担ψ。则F在D上正规。


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