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非线性矩阵方程X-A*X~(-2)A=I的Hermite正定解的唯一性及其数值解法

郭向利  
【摘要】:非线性矩阵方程是数值代数领域的重要内容之一.此方程有着广泛的应用,包括动态规划,控制论,阶梯网络,随机筛选和统计学等.由于Hermite正定解在实际中应用较多,所以我们只讨论此类解的情况.本文研究非线性矩阵方程X-A*X一2A=I的Hermite正定解,其中A是n×n阶非奇异复矩阵,I是n×n单位矩阵,A*为矩阵A的共轭转置矩阵.本文给出了此方程解的一些性质和存在唯一的Hermite正定解的更一般的充分条件,且通过同伦延拓法提出了求Hermite正定解的数值解法,并利用数值例子验证了文中所得结论的正确性.本文的主要结果如下 定理1如果A=aN,其中a是复数,N是一个酉矩阵,则方程(1.15)只有一个解X=δI,这里的δ是下面方程的唯一正解 定理2设X,Y2I是方程(1.15)的解,则X=Y. 定理3令α是下面方程的最大正解口是下面方程的最小正解我们有β≤α,(α-1)β2=Amax(A*A),(β-1)α2.=λmin(A*A).假设 则方程(1.15)有唯一的解X,并且有βI≤X≤αI2I. 定理5假设X是方程(1.15)的一个解,且满足X2I,则X是方程(1.15)的解中唯一大于2I的解. 定理7假设A满足:则X-tA*X-2A=I对任意的t∈[0,1]都存在唯一的Hermite正定解X2I. 定理8假设A满足(0.1)式,则在[0,1]上存在一组分点0=t0t1tN=1和整数序列jk,k=1,…,N-1使点列 有定义,其中G(X(t),t)=I+tA*X-2A,则当j→∞时,收敛到X(1). 定理9若矩阵A满足则方程X-B*(t)X-2B(t)=I对任意的t∈[0,1]都存在唯一的Hermite正定解X,且X2I,其中A=MAN,ηi为A的奇异值,B(t)=M(tA+(1-t)maxηiI)N. 定理10假设A满足(0.2)式,则在[0,1]上存在一组分点0=t0t1tN=1和整数序列jk,k=1,…,N-1使点列且j→∞时,XN,j+1=G(xN,j,1),j=0,1,…(0.4)收敛到X(1).


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