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积微分方程约束的最优控制问题的有限元方法

沈万芳  
【摘要】:自从Lions [50]的开创性工作以来,偏微分方程最优控制问题得到了系统的、长足的发展,并成为了数学科学中非常活跃的交叉学科.作为数学尤其是应用数学的一个重要分支,它在许多领域,如(材料设计,晶体增长等过程中用到的)时间控制、反馈控制、火箭飞行状态控制、石油采油水压控制、最优形状设计以及人口动力学等方面都有重要的应用,相关文献众多,例如[12,19,50,57,63,64,67,76]. 在近几十年的发展中,对偏微分方程最优控制问题的研究已经有了相对完善的理论框架,相关的计算软件的开发也得到了发展.工程上以及数学上,最优控制问题大多可用如下的抽象数学模型来表示:s.t.其中,J(u,y(u))为实际问题中的目标泛函,可称为状态变量,u称为控制变量,Uad为控制约束集,A(y,u)=0为由实际问题得来的某一偏微分方程,其中还包括变分不等式,甚至结合状态受限等多种形式,一般地,我们称方程A(y,u)=0为状态方程. 实际最优控制问题中所涉及到的状态方程既有线性的和常定的,又有非线性的和时变的.特别复杂和重要的是,随着科学和工程的发展,实际中会碰到状态方程为具有更重要应用和实际需要的线性或者非线性耦合方程组的最优控制问题,相关文献见[2,21,35,36].而最优控制问题的变量受限有控制受限和状态受限两种,之前已经有很多文章曾经处理过这两种变量受限问题.例如关于控制受限的最优控制问题,相关文献见[17,31,42,47,57,61.68,83]等,而关于状态受限的最优控制问题见文献[11,14,15,16,25,52,62,65,80.85]等. 在很多实际问题比如带有记忆性质的热传导问题、人口动力学问题、粘弹性力学、材料设计等领域中,我们常常会遇到以抛物型积分微分方程、伪抛物型积分微分方程和双曲型积分微分方程等几类重要的积分微分方程为状态方程的最优控制问题.关于抛物型积分微分方程、伪抛物型积分微分方程和双曲型积分微分方程这几类重要的积分微分方程,许多学者已经做了系统而全面的研究,这方面的工作,我们无法以这样的篇幅来一一陈述;不过,这里我们仍然要提到的是,许多经典理论和传统算法,可以参阅相关文献见[29,37,66],而带有非光滑核的方程见文献[33,58,59]等专著中的相关论述与结论.但是对以这一类方程为状态方程的最优控制问题的系统研究(理论分析或者是数值计算)在文献中并不多见.特别是当建立了合适的数学控制模型之后,由于这些状态方程(积分微分方程)的复杂性,通常情况下难以求解其精确解,因此发展高效的数值计算方法成为最优控制实际应用的首要问题和挑战.随着计算机的发展和计算能力的提高,各类数值方法比如差分法、谱方法、有限体积法等都在最优控制问题数值计算中得到了一些应用,但是众所周知,在大的科学与工程计算过程中有限元方法因其自身的优越性,在众多数值方法中占有了不可替代的位置. 有限元方法在偏微分方程最优控制问题中的应用已有很广泛和深入的研究,无论是在数值计算还是收敛性和误差分析方面的结果都不胜枚举,可见文献[3,4,5,32,34,57]等.例如,最优控制问题中状态方程为线性和非线性椭圆方程时,先验估计在[27]和[76]中就已给出;最优控制问题中状态方程为非线性方程时,先验估计在[28]中给出.虽然当前科技论文文献中关于最优控制的有限元逼近快速求解的文章不胜枚举,但是即使对控制受限的最优控制问题的计算仍然需要深入的研究.原因是最优控制问题的求解仍存在很多计算上的瓶颈问题,其中种种困难错综复杂,相互制约,从而增加了问题的难度.这其中至少有两个关键的问题,首先是最优控制问题如何离散,其次是离散的最优控制问题(有时是KKT系统)如何求解,其求解过程通常需要反复求解状态方程和对偶状态方程. 关于抛物型和双曲型方程最优控制问题的研究,前人已经做了大量的工作.如在文献[18]中给出了半线性二次抛物型最优控制问题的全离散混合有限元误差估计;在文献[56,74]中通过构造后验误差估计子,给出了抛物型最优控制问题的等价的后验误差估计;在文献[60]中给出了抛物型方程最优控制问题的时空有限元离散的后验误差估计.而双曲型方程最优控制问题的研究在文献[50]中也有介绍.虽然积分微分方程的数值解问题许多学者已经做了系统而全面的研究,这方面的工作可以参阅文献[23,29,33,37,58,59,66,81,82]等,另外带有光滑核的抛物型、伪抛物型和双曲型积分微分方程的有限元方法在[8,13,20,26,45,49,71,75,84]等专著中也有相关论述与结论.但是此类积分微分方程的最优控制和数值方法尚未见有相关文献.由于此类积分微分方程相比抛物型方程或者是双曲型方程多了积分项,使得以它们为状态方程的最优控制问题更加复杂,所以关于积分微分方程最优控制问题的有限元方法尚亟待发展.积分微分方程最优控制的数值解问题对有限元方法提出了新的挑战.本文的主要目的是系统的研究以积分微分方程作为状态方程的控制受限的最优控制问题的有限元方法,首次系统的研究了抛物型积分微分方程、伪抛物型积分微分方程和双曲型积分微分方程最优控制问题的有限元逼近,建立了其解的存在性、唯一性和正则性,并且得到了有限元逼近解的最优阶先验L2(0,T;H1(Ω))-模和L2(0,T;L2(Ω))-模误差估计. 从已有的研究成果来看,在诸多类型的有限元方法中,自适应有限元方法因能大幅度提高计算效率而成为当前科学与工程计算领域内的一个主要方法.自适应有限元方法分为p-自适应方法(调整多项式的次数),Moving-mesh方法(调整网格的位置)和h-自适应方法(加密或稀疏网格).在没有特别指明情况下,本文中的自适应方法均指h-自适应方法.为了得到精度更高的数值解,其本质在于通过后验误差估计得到的估计子作为加密的标准实现其网格的局部加密.而基于后验误差估计的估计子是与最优控制解的奇性紧密相关的.一个好的估计子能够以其数值幅度的大小来指示解的奇性强弱.自适应有限元方法的实现机理是:在估计子大的地方进行网格加密,因而函数正则性较差的地方网格点分布较密.正是基于此,后验估计子对于自适应方法是否有效和可靠非常重要.后验估计子有很多种,比如残量型及局部平均梯度型误差估计子等,具体可见[1,6,7].对于偏微分方程的边值问题和初边值问题,自适应计算已经有了很广泛的研究和应用,但是在最优控制问题的有限元方法上自适应方法的计算还是属于初级阶段.90年代前,在大部分自适应计算中,状态方程的误差指示子被用来指示网格加密,直到文献[9,54,55]的工作指出,最优控制问题的有效指示子并不是状态方程的指示子,而是需要重新构造.文献[9]中的目标定向对偶加权方法主要适用于控制变量不受限的问题,而控制变量受限下的控制问题可以采用[54,55]中发展的残量型方法.这样就需要寻找针对控制问题有效的指示子.本文主要围绕几类积分微分方程控制受限最优控制问题的有限元离散进行讨论研究.其中对相应问题的全离散有限元误差估计,我们进行了较为具体而详细的讨论与分析.关于这些问题的数值离散,采取多套网格上的标准有限元逼近,并且采用残量型后验误差估计子来推导积分微分方程最优控制问题的等价的后验误差估计. 关于自适应网格有效降低最优控制问题有限元方法的计算量方面的早期研究,相关文献可见[9,10.47,55]等.这里需要进一步指出的是在控制受限时,控制和状态有不同的正则性,故采用同一套自适应网格来计算控制和状态,大大降低了自适应网格的计算效率.一般来讲,在控制问题中最优状态比最优控制有更高的正则性,而且控制可能会有不同的奇异性,比如最典型的一种情况,当状态变量受到点态障碍约束时,接触集的自由边界处很容易产生较大的梯度跳跃,如文献[47]中所述.因此如果所有变量都在同一套网格上进行离散,则显然会降低数值求解的效率,自适应多套网格在此时就显示出其独特优势.它是分别以不同的误差指示子来决定不同网格上的加密,如果我们只关注所得最优控制的精度时,就可以在一个相对较为稀疏的网格上进行原状态方程与对偶状态方程的求解工作;而一般的关于最优控制问题数值求解的算法,主要的计算工作则恰恰是集中于反复迭代求解原状态方程与对偶状态方程,从而采用多套网格就会节省大量的计算工作.因此,对控制受限的最优控制问题常常要用多套自适应网格来分别计算状态和控制,同时这也使得多套网格下的自适应计算可以更有效的进行.本文中采用多套网格框架来发展积分微分方程最优控制问题的自适应有限元方法.此方法和思想可用于很多类型控制问题,相关文献见[41,46,48]等. 虽然在文献[18,56,60]等中给出了线性椭圆、抛物型方程最优控制问题等价的后验误差估计,但是由于抛物型、伪抛物型积分微分方程要比线性抛物型方程远更复杂,关于抛物型、伪抛物型积分微分方程最优控制问题的后验误差估计仍然没有得到充分的研究.本文将分别给出抛物型积分微分方程最优控制问题、伪抛物型积分微分方程最优控制问题的等价的L2(0,T;H1(Ω))-模后验误差估计,并且用算例验证了其等价性. 下面的几段分别介绍各章的主要内容. 第一章中我们研究了控制受限抛物型积分微分方程最优控制问题的有限元方法.这里我们考虑常用的控制点态受限(Ud={u∈X;v≥0})和控制积分受限(Uad={u∈X;∫ΩUU≥0})两种情况.我们首先给出最优控制问题的弱形式,应用Gronwall不等式以及其它的先验估计技术,建立了最优控制问题的解的存在性和正则性.通过经典的最优性条件推导的方法和应用交换积分次序的方法,给出了最优控制问题的最优性条件.然后我们进一步考虑以上最优控制问题的半离散有限元逼近,研究了其适定性,得到了最优控制问题状态和控制变量的L2(0,T;H1(Ω))-模和L2(0,T;L2(Ω))-模先验误差估计.为此,我们首先引入了中间状态方程组,推广了文献[57]中的方法得到了L2(0,T;H1(Ω))-模估计;为了得到L2(0,T;L2(Ω))-模估计,我们对接触集进行了更细致的划分,得到了更精确的估计阶.最后,通过数值实验验证了理论结果的正确性. 第二章我们仍然处理线性抛物型积分微分方程最优控制问题,但是集中处理有限元逼近的后验误差估计.众所周知,对于受限最优控制问题,后验误差估计子的形式和推导时所用的方法很大程度上依赖于控制集K的选择.我们考虑控制集K={u(t)∈X:∫Ωu(t)≥0,(?)t∈[0,T]}的控制积分受限的情况,给出了受限问题的多套网格自适应有限元方法,得到了等价的L2(0,T;H1(Ω))-模后验误差估计.在本章中我们首先考虑最优控制问题的半离散有限元逼近,通过对时间应用向后Euler格式得到其全离散格式.给出了全离散形式的适定性和最优性条件.为了得到上界估计,我们引入了不同的中间状态变量和辅助方程,推广文献[57]中的方法,得到了精确的后验估计上界.在上界估计中,其主要难点之一是积分项的处理.需要精细的估计.然后我们用文献[1,78]中的标准的Bubble方法得到了下界,证实了本章后验估计的等价性.在以上的后验估计的基础上,我们构造了最优控制问题的后验估计子,设计了自适应有限元的多套网格计算格式,并且进一步应用到算例中.算例的计算结果表明以上的自适应有限元格式相比标准的有限元方法而言,计算效率得到了很大的提高. 第三章中我们用和第一章相似的思路来研究控制受限伪抛物型积分微分方程最优控制问题的有限元方法.这里我们同样考虑常用的控制点态受限和控制积分受限两种情况.由于其状态方程包含状态变量时间导数的梯度,其弱形式需要在不同的空间中建立.进一步我们用更细致的方法研究了其解的正则性,建立了其解对时间的一阶、二阶正则性.通过经典的最优性条件推导的方法,给出了最优控制问题的最优性条件.然后考虑以上最优控制问题的半离散有限元逼近,研究了其适定性,得到了最优控制问题状态和控制变量的H1(0,T;H1(Ω))-模和L2(0,T;L2(Ω))-模先验误差估计.最后,通过数值实验验证了理论结果的正确性. 第四章我们研究了第三章中的控制变量积分受限的伪抛物型积分微分方程最优控制问题的后验估计问题,得到了等价的L2(0,T;H1(Ω))-模后验误差估计.同样我们首先对时间应用向后Euler格式得到其全离散格式,给出了全离散形式的适定性和最优性条件,在此基础上,建立了最优控制问题的全离散有限元逼近格式.在上界估计中,我们同样引入了(不同的)中间状态变量和辅助方程,推广[57]中的方法以及第二章对积分项的处理方法,得到了精确的后验估计上界.采用[1,78,79]中的标准的Bubble方法,得到了下界,证实了本章后验估计的等价性.但是其推导过程要比抛物型积分微分方程最优控制问题更复杂.我们构造了伪抛物型积分微分方程最优控制问题的后验估计子,设计了自适应有限元的多套网格计算格式,并且进一步应用到算例中. 第五章中我们研究了控制受限双曲型积分微分方程最优控制问题的有限元方法,处理了控制变量的点态受限和积分受限这两种情况.我们首先给出了问题的弱形式,分析了最优控制问题的解的存在性和正则性.由于双曲型积分微分方程中含有对时间的二阶导数,所以处理方法和抛物型积分微分方程有很大的不同.其正则性结果要比抛物型积分微分方程最优控制问题更强.本章我们推导了最优控制问题的最优性条件,建立了其半离散有限元逼近格式,研究了其适定性.我们也引入了相应的中间状态方程组,得到了L∞(0,T;H1(Ω))-模估计;为了得到L2(0,T;L2(Ω))-模估计,我们也对接触集进行了细致的划分,进而得到了更精确的估计阶. 另外,前四章的末尾都附有相应的数值实验. 本文的创新点是: 1、研究了几类积分微分方程最优控制问题,建立了相应的最优性条件.对抛物型、伪抛物型和双曲型积分微分方程最优控制问题应用有限元方法及适定性,得到了最优阶先验误差估计,并给出算例来验证理论结果的正确性. 2、研究了抛物型、伪抛物型积分微分方程最优控制问题的自适应有限元方法,给出了等价的后验误差估计以及估计子,设计了有效的自适应有限元算法,并应用到数值算例中.数值实验表明对给定的控制逼近误差,自适应网格能够大幅度的减少计算量,证明了自适应有限元后验误差估计是可靠的、有效的.


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