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两类偏微分方程的不变流形

程红玉  
【摘要】:本文主要研究偏微分方程的不变流形,即中心流形,稳定流形和不稳定流形,其中为定义在Banach空间X内的非线性偏微分算子,(?)为线性算子,其谱具有三分性,N为非线性算子且其算子阶小于(?)的算子阶.在动力系统理论中人们特别关心方程(0.1)的一些特殊解(平衡解,周期解,拟周期解等)的存在性和稳定性,而这些特解周围的其它类型解的性质可以通过研究这些特解而得到.KAM(Kolmogorov-Arnold-Moser)理论是研究偏微分方程拟周期解的一个强有力工具,它主要包括正规形方法和Newton-Nash-Moser隐函数定理方法.用正规形方法得到的拟周期解是线性稳定的.最近Xavier Carbe,Ernest Fontich和Rafael de la Llave引入参数化方法来求解线性算子的谱具有三分性的方程的拟周期解.该方法利用线性算子(?)的(离散)谱的三分性把原系统约化到一个有限维的子空间中.虽然该方法也需要无穷次KAM迭代,但是所解的同调方程均是有限维.而需要指出的是该方法需要借助数值模拟等方法预先求出所考察方程的一个近似解K(t),即其中||e||Y充分小.本文主要考察Boussinesq方程关于以上两个方程已经有大量的研究成果.特别地,Rafael de la Llave在2009证明了(0.2)拥有光滑的中心流形.2015年徐君祥证明了(0.2)在适当的条件下存在一族具有2个频率的拟周期解.2016年Rafael de la Llave和Yannick Sire证明了(0.2)有有限维的拟周期解.2008年K.W.Chug和袁小平证明在d = 1情况下(0.3)存在周期解和2-维的拟周期解.2009年,丛洪滋,刘建军和袁小平证明d1时方程(0.3)也存在2-维拟周期解.2011年丛洪滋和高美娜证明了带导数的复Ginzburg-Landau方程存在2-维拟周期解.2013年程红玉和司建国证明了具有拟周期驱动的复Ginzburg-Landau方程存在(m + 2)-维的拟周期解,此时驱动的频率满足Diophantine条件.本文的具体安排如下:第一章分为五节.第一节介绍所研究问题的背景,特别是两个具体模型的研究背景及研究现状.第二节给出一些常用定义,不等式,引理,命题等.第三节给出有限维和无穷维Hamilton系统的KAM定理.第四节给出具有驱动的非Hamilton系统的KAM定理,其中驱动频率满足Diophantine条件.第五节我们介绍 Xavier Carbe,Ernest Fontich 和 Rafael de la Llave 在 2003 年引入的参数化方法并简单地介绍用该方法构造拟周期解的过程.第二章我们构造具有拟周期驱动(驱动频率满足Diophantine条件)的复Ginzburg-Landau方程的拟周期解.具体地,我们把所研究方程的解写成所在空间基的线性组合,把该和代入方程后得到一个格点方程,然后我们做一个变换消去格点方程中的不可积项,再通过作用量角变量变换和一些简单的计算我们得到一个可积系统加小扰动的系统.最后利用第一章所证明的定理1.5得到我们的结果.第三章我们构造Boussinesq方程和复Ginzburg-Landau方程的有界解附近的稳定流形.值得说明的是该解可以是用任何方法得到的(向前)有界解.具体地,假设u(t)=K(t)是(0.1)的解,我们需要找到另一个函数ξ(t)使得u(t)= K(t)+ξ(t也是(0.1)的解.把是u(t)=K(t)和u(t)=K(t)+ξ(t)分别代入(0.1)中并经简单的计算得到关于Ο(t)的发展方程(原方程的变分方和复 Ginzburg-Landau 方程程).以拟周期解K(θ+ωt)为例,所求它的稳定流形就是集合W我们称W是函数w的图像,这里函数w是满足的函数.需要用压缩不动点定理来求函数w.第四章是附录,一些引理的详细证明在本章给出。


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