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一类半线性抛物问题的Runge-Kutta配置法

王景明  
【摘要】:本文首次将Runge-Kutta方法与配置法结合起来解半线性抛物问题,利用中点Euler方法即二阶Runge-Kutta方法离散时间,结合正交配置法得到全离散格式并证明了全离散解的存在唯一性,同时给出L~2-模的最优先验误差估计。 半线性抛物方程在化学、生物学等许多数学物理问题中有着广泛的应用,无论从理论上,还是数值分析上,全面深入地进行研究是很有意义的。 Runge-Kutta方法是一种高阶的单步法,它不求微商,而是计算不同点上的函数值,然后对这些函数值作线性组合,构造近似公式。Runge-Kutta方法在解常微分方程系统中有广泛的应用,而将Runge-Kutta方法用于解偏微分方程并不多见。配置法是以满足纯插值约束条件的方式,寻求算子方程近似解的方法,且具有无需计算数值积分、计算量小、收敛阶高等优点。近几年,配置法得到了快速发展,已被广泛应用于解各类微分方程问题。 Douglas与Dupont在文献[1]-[4]中深入讨论了一维非线性抛物初边值问题的样条配置法,他们把正交配置法与各类时间离散方法相结合,得到了很好的结果。Greenwell与Fairweather在文献[5]中研究了二维抛物和双曲问题的样条配置法。 在此基础上,本文主要针对一类半线性的二维抛物问题,提出了将二阶Runge-Kutta方法与配置法相结合的全离散配置法。文中采用分片双三次Hermite插值多项式空间作为求解的逼近函数空间,建立了全离散的配置格式,不但证明了全离散解的存在唯一性,而且得出了L~2模的最优先验误差估计。 本文的结构如下:第一章讨论常系数抛物问题的Runge-Kutta配置法。第一节是引言。考虑以下常系数半线性抛物方程的初边值问题其中Ω=(0,1)×(0,1),(?)Ω为Ω的边界。


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