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非线性方程X-A~*X~(-p)A=I(p>0)的Hermite正定解

李静  
【摘要】:求解非线性矩阵方程的问题主要是通过分析所给方程参数的性质来得到方程的解。由于Hermite正定解在实际中应用较多,所以我们只讨论此类解的情况。在现实生活中,方程X-A~*X~(-p)A=I的来源相当广泛,包括控制理论,动态规划,统计和椭圆型偏微分方程的差分方法求解等多个领域。关于此类方程的求解通常涉及到三个问题:(1) 可解性问题,即方程有解的充分和必要条件;(2) 数值求解问题,即有效的数值方法;(3)解的扰动分析。 首先,本文讨论了方程 X-A~*X~(-p)A=I (1)在p0时的可解性,主要结论如下: 定理1 对任意的矩阵A∈C~(n×n),方程(1)总是有解。 定理2 对任意的可逆矩阵A∈C~(n×n),存在酉矩阵P,Q和对角矩阵ΓI,∑0,使得 A=P~*Γ~pQ∑P,其中Γ~2-∑~2=I。此时X=P~*Γ~2P是方程(1)的解。 定理3 若A是正规矩阵,即存在一个酉矩阵P满足A=P~*∧P,其中∧=diag(λ_1,λ_2,…,λ_n),λ_i,i=1,2,…,n是A的特征值,则 X=P~*diag(μ_1,μ_2,…,μ_n)P是方程(1)的解,其中μ_i(i=1,2,…,n)是方程 μ_i-|λ_i|~2μ_i~(-p)=1的唯一正解。 定理4 若A是酉矩阵并且p≤p0,其中p00满足 P_0~(p0/(p0+1))+1=p0,


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