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几类有限体积元及有限体积格式的数值分析

杨旻  
【摘要】:有限体积元(FVE)和有限体积(FV)方法作为守恒型问题的离散方法具有较长的历史,这类方法被广泛的应用于科学工程计算领域中,如流体力学,热传导,物质运移以及石油工业等,在早期的文献中[2-6],这类方法亦被称为积分有限差分方法,盒式方法和广义差分方法,并且大部分相关的数值结果是关于线性问题的。有限体积元和有限体积格式的建立是基于所谓的”平衡”方法:首先,将问题在每一个离散单元(称为控制体积或对偶单元)上表示为局部平衡形式;其次,利用散度公式,将该平衡形式表示为积分守恒形式;最后,根据计算要求采用不同的技巧将守恒形式离散。一般而言,我们可以将有限体积元和有限体积方法看作是介于有限元和有限差分方法之间的第三类离散方法。它们一方面具有有限元方法的灵活性,适于处理复杂区域及边界问题,另外一方面,类似有限差分方法离散格式简单易于计算。 有限体积元和有限体积方法的主要区别在于有限体积元方法涉及两个空间,其中解空间为初始剖分上的分片多项式函数空间,检验函数空间为对偶剖分上的分片常数函数空间,它类似有限元方法采用Galerkin技巧先形成变分形式再求解。而有限体积方法直接利用差分技巧在每个控制体积上对平衡方程离散后再求解。 有限体积元和有限体积方法被广泛应用源于其格式构造的简便以及保持数值流量的局部守恒性这两个优点,尤其是第二个优点很重要,它使得的该方法在估计诸如流体力学,半导体模拟,热传导等流量为主的问题时非常有效。尽管如此,这类方法也有一些比较严重的缺点:1.基本上,大部分FVE和FV格式关于空间均只有一阶收敛精度;2.对于FVE方法而言,由于解空间和检验函数空间不相同,导致了高维问题即便是定常系数,其离散格式的系数矩阵往往也不对称,这无论给问题的理论分析还是实际计算都带来了较大的困难,因为在实际工程计算中,很多常用的算法,如共轭梯度法,都依赖于系数矩阵的对称性。 为了获得高精度的格式可以采用两种方法。1.选用规则或对称的网格剖分。Cai,Ewing等人证明了对于椭圆和积分微分方程,当采用对称网格时,相应的FVE格式的H~1模误差估计具有二阶空间精度。Vassilevski,Petrova和Lazarov基于三角形网格提出了一类FV格式,当网格规则时,获得了超收敛的结果,即O(h~2)。Weiser和Wheeler研究了非一致张量积网格上的FV方法以及超收敛性。Lazarov,Mishev和Vassilevski基于正方形网格剖分提出了两类迎风FV格式,包括修正迎风格式和Il'in格式,这些格式都具有O(h~(m-1)),3/2≤m≤3的收敛精度。但是通过第一种方法构造高精度格式,一方面对网格剖分有较大的限制,另外要求处理的问题比较简单,因此在实际应用中有一定的局限性。2.对于FVE格式,还可以通过选取高次有限元空间作为解空间以获得高精度收敛结果。田和陈以Poisson方程为模型,基于三角形网格上的二次Lagrange元和三次Hermite元,首先提出了两类高精度FVE格式并证得了最优的H~1模误差估计,而后陈又研究了常系数


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