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抛物型方程组的数值方法和分析

高夫征  
【摘要】:抛物型方程组在化学,生物学等许多数学物理领域有着广泛的应用,具有深刻的物理背景。诸如油水两相渗流驱动问题,核废料污染问题,半导体器件瞬态问题,生物种群互相作用的演化问题等模型均是由抛物型方程组来描述的,因而得到广大数学工作者以及工程技术人员的普遍关注和重视。无论从理论上还是从数值分析上,都有必要全面而深入地研究。关于抛物型方程组解的存在唯一性,正则性及其解的一些其他性质已有许多成果,这方面以A.S.Kalashnikov,周毓麟,沈隆均,袁光伟,吴卓群,王明新等为代表进行了一系列的研究工作[1-10]。对于其有限元方法分析和差分方法分析也有许多优秀的结果,这方面以J.Douglas,Jr.和T.Dupont,R.E.Ewing,T.F.Russell,M.F.Wheeler,袁益让等人为代表作出了一系列基础性研究工作,提出了著名的特征有限差分方法和特征有限元、特征混合元等方法,并做了理论分析和数值实验,奠定了坚实的理论和实验基础[11-20]。进入90年代以后,这些数值方法和理论进一步得到长足的发展。 本文报告作者在袁益让教授和羊丹平教授的精心指导下,就具有广泛应用背景的抛物型方程组及对流扩散方程数学模型问题综合利用有限元和有限体积(广义差分)法离散技巧,构造了具有良好计算效果的有限元格式和有限体积元(广义差分法)格式并进行了理论分析,且作了数值试验以验证计算格式的有效性,拓广了前人的工作,不具有重复性。本文创新点有以下几个方面: (1)针对线性和完全非线性抛物型方程组分别提出交替方向多步格式和迎风有限体积元预估校正格式;对两者均得到最优阶L~2模收敛阶误差估计,并给出了数值试验;且对于后者,同时得到最优阶能量模误差估计。 (2)针对二维含非线性对流项的扩散问题,基于三角形剖分和四边形剖分两种基本的区域剖分及相应的对偶剖分分别得到了迎风有限体积元格式,该格式计算量小,保持质量守恒。对两者分别得到了最优阶L~2模和H~1模误差估计,且对后者就矩形网情形给出了格式满足离散极值原理的结论。并给出数值试验支撑理论分析结果。 (3)针对三维非线性对流扩散问题,基于直三棱柱剖分和长方体剖分两种区域剖分及相应的对偶剖分提出了结合质量集中算子的迎风有限体积元格式,该格式计算量小,保持质量守恒。对两者分别得到了最优阶L~2和H~1模误差估计,且后者满足离散极值原理。并给出数值试验,说明方法的实用性。


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