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BANACH空间中积分—微分方程边值问题的解

陈燕来  
【摘要】:随着科技的发展,在物理学、化学、数学、生物学、医学、经济学、工程学、控制论等科学领域出现了各种各样的非线性问题,这些非线性问题日益引起了人们的广泛重视。而非线性泛函分析为解决这些问题提供了富有成效的理论工具。目前非线性泛函分析已成为现代数学中重要的一个分支,主要包括拓扑度理论、临界点理论和半序方法等。1912年L.E.J.Brouwer对有限维空间建立了拓扑度的概念,1934年J.Leray和J-.schauder将这一概念推广到Banach空间的全连续场,后来E.Rothe,H.Amann[1],M.A.Krasnose'skii[2],K.Deimling[3],L.Nirenberg[4]等对拓扑度理论,锥理论及其应用做出了杰出的工作。国内张恭庆教授[5]、陈文(山原)教授[6]、郭大钧教授[7]等众多学者在非线性泛函分析的各个领域进行了深入的研究[8-11,18-21]。 令E为一实Banach空间。考虑下面Cauchy问题 x′=f(t,x),x(t_0)=x_0,(a)其中f∈C[[a,b]×D,E],D(?)E,t_0∈[a,b],x_0∈D。如果dim E=∞,1950年J.Dieudonne[12]举出反例(见第一章第一节),说明有限维空间常微分方程的基本存在定理—Cauchy-Peano定理—对无穷维空间上的常微分方程不再成立。该反例得发表是Banach空间常微分方程理论发展过程中的一个重大事件,它表明由于无穷维空间同有限维空间的本质区别,有限维空间常微分方程的许多结论和方法,对无穷维空间常微分方程不再适用。无穷维空间常微分方程的研究,存在本质的困难,需要新的理论,新的工具,新的方法。到上世纪80年代末,经过许多数学家的努力,Banach空间常微分方程已经初步形成理论体系,其标志是著作[13-16]的问世。K.Deimling[13](定理2.1)在紧性型条件下推广了Cauchy-Peano定理。K.Deimling[13](定理3.2)在耗散型条件得到了Cauchy问题(a)解的存在唯一性。S.W.Du和V.Lakshmikantham[17],运用上下解方法与单调迭代技巧得到了Cauchy问题(a)的最大解与最小解。作为补充,孙经先和孙勇[18]研究了当f(x)是不连续的增函数时Cauchy问题(a)(方程右端不含t)最大广义解与最小广义解的存在性。郭大钧[7,9,21]与V.Lakshmikantham[7,21]等致力于抽象空间锥理论的研究,并且运用锥理论结合半序方法研究Banach空间中的常微分方程。在方法上,通过建立比较定理,运用上下解方法,对Banach空间中各种常微分方程(特别是初值问题)进行了系统的研究,见V.Lakshmikantham,S.Leela和A.S.Vatsala[22],L.H.Erbe和郭大钧[23],郭大钧[19,20,31-33],孙经先[24,25,26],韦忠礼[27],王建国[28],刘立山[29,30],宋光兴[34],刘笑颖与吴从炘[35].其中所研究的问题有以下的局限性:(1)大都研究的是一阶或二阶初值问题,方程右端的非线性项f一般不含有未知函数的各阶导


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