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非线性边值问题的正解

李红玉  
【摘要】:非线性泛函分析是现代分析数学中的一个重要分支学科,它为解决当今科技领域中出现的各种非线性问题提供了富有成效的理论工具。在处理实际问题所对应的各种非线性积分方程和微分方程中发挥着不可替代的作用。 非线性Sturm-Liouville边值问题的研究是一个具有持久生命力的课题。近一段时期以来,非线性Sturm-Liouville边值问题的正解的存在性受到广泛的关注。许多文献在非线性项为非负的情况下,研究了Sturm-Liouville边值问题正解的存在性。只有少数学者对于非线性项可取负值的情况进行研究。所用到的方法主要是锥理论。因此,我们需要寻求新的方法来进一步研究非线性Sturm-Liouville边值问题的正解的存在性。 关于二阶非线性常微分方程边值问题的研究,已有丰富的文献。相比之下,对于二阶非线性常微分方程组边值问题,研究的人较少,相应的文献也要少的多。由于实际问题的需要(见[42]),进一步研究非线性常微分方程组边值问题就具有其内在的价值。 测度链理论是德国学者Stefan Hilger在其[28]中提出的,是为了统一连续分析和离散分析理论而引入的一种新的分析理论。由于测度链理论自身的不断发展和完善,测度链上的动力方程边值问题受到人们的高度重视。如何利用拓扑度理论等非线性泛函分析中的分析工具来研究测度链上的动力方程边值问题引起了许多数学工作者的浓厚兴趣。 在本文中,我们主要讨论了非线性Sturm-Liouville边值问题正解的全局结构,非线性常微分方程组边值问题的正解的存在性及测度链上的非线性微分方程边值问题的正解的存在性。全文共分三章。 在第一章中,我们讨论了非线性Sturm-Liouville问题 许多文献研究了非线性边值问题(1)的正解的存在性(见[24,26,31-34,36,43-45,57-60]及参考文献),但他们绝大多数都要求非线性项满足f(x,u)≥0(u≥0)。只有少数


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