图的点荫度和点线性荫度

【摘要】：图的点染色理论一直是图论界的一个热门话题。一个图G的一个k-着色是从V(G)到{1,2,…,k}的一个映射,对于图G的一个给定的k-着色,V_i表示G中染i色的所有顶点,而G[V_i]表示V_i在G中的点导出子图。若V_i(1≤i≤k)都是独立集,则称f是一个正常k-着色。使得图G有正常k-着色的最小数k称为G的点色数,记为x(G)。若有x(G)=k,则称G是k-色图。若对于G的任意真子图H,都有x(H)x(G),则称G是临界图。一个k-临界图是一个k-色的且临界的图;任何k-色图都有一个k-临界子图。 在一个k-着色中,若G[V_i](1≤i≤k)的每个连通分支都是树,则称f是一个树k-着色。使得图G有树k-着色的最小正整数k称为G的点荫度,记为va(G)。 Kronk等人证明了对于任意图G,有va(G)≤[(△(G)+1)/2]。Catlin等人证明了非圈非完全的图G的点荫度va(G)≤[(△(G))/2]。(?)krekovski证明了局部平面图的点荫度≤3,而无三角形的局部平面图的点荫度≤2。G.Chartrand等人证明了任意平面图的点荫度≤3,以及n-部完全图K(p_1,p_2,…,p_n)(1≤p_1≤p2≤…≤p_n)的点荫度是n-max{k|sum from 0 to k p_i≤n-k},其中p_0=0。后来有许多人,如N.Alon等,也研究了图的点荫度。 若G[V_i](1≤i≤k)的每个连通分支都是路,则称f是一个路k-着色。使得图G有路k-着色的最小正整数k称为G的点线性荫度,记为vla(G)。显然,对于任意的图G,有va(G)≤vla(G)≤x(G)。 Matsumoto证明了:对于有限图G,vla(G)≤[(△(G)+1)/2],进而,若△(G)为偶数,则vla(G)=[(△(G)+1)/2]当且仅当G为△(G)+1阶的完全图或为一个圈;Goddard和Poh证明了对于平面图G,有vla(G)≤3;Akiyama证明了对于外平面图G,有vla(G)≤2。Alavi等人证明了对于任意阶为n的图G,有vla(G)+vla((?))≤1+[(n+1)/2],其中(?)是G的补图。 给定任一正实数集D,令G(R,D)表示实数轴上的所有点作为点集合,而两个