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抛物方程的区域分解并行算法

常洛  
【摘要】:数学物理及工程问题,如油气藏的勘探与开发,大型结构工程航天器的设计,空气动力学,反应堆等等,无不归结为求解大型偏微分方程。这些问题的计算区域往往是高维的,大范围的,其形态可能很不规则,给计算带来很大困难。区域分解方法是并行求解大型偏微分方程的有效方法。因为这种方法可以把大型计算问题分解为小型问题,简化了计算,所以在上世纪50年代,在并行计算机出现之前,区域分解方法就已经在串行机上得到了应用。进而,随着并行计算机和并行算法的发展,自上世纪80年代始,区域分解算法开始蓬勃发展起来,现在高性能并行计算机已经广泛地应用于能源部门(例如核工业和实验,石油工业)、生物(基因、药物)的研究合成及气象(数值天气预报或模拟)等。区域分解方法通常用于下面两种情况:第一,可以通过区域分解的方法把大型问题转化为小型问题,实现问题的并行求解,缩短求解时间;第二,许多问题在不同的区域表现为不同的数学模型,那么可以在不同的区域对数学模型采用不同的方法进行求解,从而自然的引入区域分解方法,实现了并行计算。因为区域分解方法可以把大型问题分解为小型问题,复杂边值问题分解为简单边值问题,串行问题分解为并行问题,因此对这种方法的研究十分活跃,其具体方法也是多种多样的。 本文作者在袁益让教授的精心指导下,对区域分解方法所做的部分研究工作,对不同的数学模型问题提出了非重叠区域分解有限元方法,给出了收敛性分析和数值结果,并通过数值实验验证了算法的有效性。全文共分四章。在第一、二、三章,我们提出了显隐格式区域分解有限元方法来分别数值求解间断系数抛物方程,抛物型方程组,积分微分方程和多孔介质中的混溶驱动问题;在第四章中,我们应用基于最优化的区域分解方法来数值求解一类抛物方程。针对每一种算法,我们都给出了严谨的理论分析。 当用区域分解方法来数值求解数学模型问题时,我们首先会根据问题的特性或问题求解区域的几何特点对区域进行划分,把整个求解区域划分为若干个子区域。然后在每个子区域上分别求解独立的子问题,实现并行计算。当求解抛物型偏微分方程时,一般情况下我们需要知道方程的初边值条件,但由于区域是人为划分的,那么对于子区域而言,至少有一测度非零的边界上的边界条件是未知的,即相邻子


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