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非线性方程X+A~*X~qA=I(q>0)的Hermite正定解

李磊  
【摘要】:求解非线性矩阵方程的问题主要是通过分析所给方程参数的性质来得到方程的解。由于Hermite正定解在实际中应用较多,所以我们只讨论此类解的情况。在现实生活中,方程X+A~*X~qA=I的来源相当广泛,包括控制理论,动态规划,统计和椭圆型偏微分方程的差分方法求解等多个领域。关于此类方程的求解通常涉及到三个问题:(1)可解性问题,即方程有解的充分和必要条件;(2)数值求解问题,即有效的数值方法;(3)解的扰动分析。 首先,本文讨论了方程 X+A~*X~qA=I (1) 在q>0时的可解性,主要结论如下: 定理1当A~*A<I时,方程(1)有正定解。 定理2当A~*A≥I时,方程(1)有非负定解。 其次,如果方程(1)有解为X。我们可以由以下定理给出解的性质: 定理3当A~*A<I时,对于(1)的解,有其中α,β可以有下面迭代给出:定理4当A~*A≥I时,对于(1)的解X,有其中序列μ.ε也可以有下面迭代给出:


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